[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/

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521: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:58:27.47 ID:6AF3LOKJ >>520 つづき 蛇足で、繰り返しすが ζ4=iは、x^4=1の根です 重要なのはζ4=i（虚数単位）が得られること なお、ζ2は、x^2=1の根で、ζ2=-1ですが、これは有理数Qの中です （体の拡大に寄与しない） 下記wikipedia 円分体の記述のように、 Q(ζ4p) は、Q(ζ4)と Q(ζp)との合成体とみることができます つまり、 拡大体 Q(i,ζp)と見ることが出来ます ζpは、x^p=1の根で、最小多項式は、p-1次多項式です。 （根 x=1 が除かれますのでp-1です） 1以外の根は、ζp,ζp^2,・・・,ζp^(p-1) のp-1個です 実円分体 Q(ζp)∩R は、共役複素数の和 ζp ＋1/ζp = 2cos(2π/p)達です で ζp ＋1/ζp,・・・,ζp^{(p-1)/2} ＋1/ζp^{(p-1)/2} で、(p-1)/2個 なお、念のため ζp＝cos2π/p + i sin2π/p です ここで、 ζp^{(p+1)/2} =cosπ(p+1)/p + i sinπ(p+1)/p =cosπ(1+1/p) + i sinπ(1+1/p) =-cosπ/p - i sinπ/p =-ζ2p とできます つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/521

522: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:59:50.72 ID:6AF3LOKJ >>521 つづき これより ζp^{(p+1)/2} + 1/ζp^{(p+1)/2} = -2cosπ/p つまり、 cosπ/p ∈Q(ζ2p) (＝(ζp)） なお ζp^{(p+1)/2} - 1/ζp^{(p+1)/2} = -2i sinπ/p だから i ∈Q(ζ4p) が使えて（割るか掛けるかする） （cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ2p)∩R(実円分体） です で、上記より実円分体で、 （ζp ＋1/ζp,・・・,ζp^{(p-1)/2} ＋1/ζp^{(p-1)/2} ）⊂ Q(ζp)∩ R ＝ Q(ζ2p)∩ R ＝ Q(cosπ/p)⊂Q(sinπ/p)⊂ Q(ζ4p)∩ R ＝Q(i,ζp)∩ R が成り立つ 元の円分体で示すと Q(ζp)＝ Q(ζ2p)⊂ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp) です 言葉で述べると ・Q(ζp)は、Q内に-1=e^πiを含んでいるので、Q(ζ2p)（2p等分点による）と等しい ・Q(ζ4p)（4p等分点による）は、iを含む ・Q(i,ζp)で、iとζpによる拡大体になる つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/522

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