現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60

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286: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/02/09(土) 09:01:44.91 ID:c3aU14PB

>>248 補足
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない

>>248の証明では、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾

ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
（円分多項式は、下記永野哲也先生ご参照）
難しい議論は不要

証明の荒筋だけ書くと
円分多項式で、f(x) =Φn(x)
と見慣れた記号に直して

例えば、f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根)
もし、ζn∈Q(i)なら
f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて
（ここに、g(x)＝f(x) /(x-ζn) なる多項式です）
Φn(x)の既約性に反する。

多項式で
f(ζn)=0 → f(x) ＝(x-ζn)g(x) と書けることは、どこにでもある基本事項です
（高校の範囲で、証明もどこにでもありそうですが、省略します）

別に、難しいことは何もない
「円分体のガロア群を計算する」なんて必要はありませんよ（＾＾

http://sun.ac.jp/prof/hnagano/
永野　哲也研 長崎県立大
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602
第16回
(抜粋)
２．円分多項式
　Φn(x)：　１の原始n乗根のみを根にもつ多項式を円分多項式（または円周等分多項式）という。

定義より以下が正しい。
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-5.jpg

http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-6.jpg
１の8乗根を単位円周上に図示すると以下のような z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8 である。

http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-7.jpg
z1、z3、z5、z7　が１の原始8乗根である。
z4　は原始2乗根、z2、z6　は原始4乗根、z8　はもちろん原始1乗根である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/286

290: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/02/09(土) 10:16:00.30 ID:c3aU14PB

>>286
>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
>f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根) もし、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて

まあ、下記なんかが参考になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
剰余の定理
(抜粋)
多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、Remainder theorem）は、多項式 f(x) をモニックな（最高次の係数が1である）二項一次多項式 x − a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。またとくに、f(a) = 0 ならば f(x) が x − a を因数に持つことが従う（因数定理）。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
因数定理
(抜粋)
多項式 f(X) が一次式 X − k を因子に持つ必要十分条件は f(k) = 0 となること、すなわち k が多項式 f(X) の根となることである[2]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
有理根定理
(抜粋)
有理根定理（ゆうりこんていり、英: rational root theorem）は整数係数の代数方程式
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+・・・ +a_{0}=0
の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：
定数項 a0 および最高次の係数 an がゼロでないなら、有理数解 x = p/q を互いに素（最大公約数が 1）な整数 p, q で表したとき、p, q は以下の条件を満たす。
・p は a0 の約数
・q は an の約数
有理根定理は、多項式の因数分解に関するガウスの補題（英語版）の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 an が 1 であるとき成り立つ整数根定理 (integral root theorem) は、有理根定理の特別な場合である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
既約多項式

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95
アイゼンシュタインの既約判定法

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/290

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