現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60

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281: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/02/09(土) 00:40:49.43 ID:c3aU14PB

>>274
「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？
ここは、小学生もいるので、変なことを言わないように、お願いします（＾＾

命題A： 「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
　↓↑
命題B：（>>248より）αを cos(απ)=p, sin(απ)=q をみたす実数とすると、(p,q)が、自明な解でないとき αは無理数である

これ成立ですよ！ 命題AとBは同値
命題Bが>>248で証明した命題ですよ！

以下、証明します

まず
命題Bを簡明に言い換えると
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)とおいて
命題B’：zが単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
とします

命題Aを簡明に言い換えると
命題A’： 「Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけ」
（円の等分点は、下記 永野哲也先生ご参照 ）

１）命題A’→命題B’
証明
背理法を使う。
zが単位円の有理点であるにも関わらず、zの偏角αは有理数であるとする
>>248で示した様に、zは円の等分点になる。これは、命題Aに矛盾する

２）命題B’→命題A’
証明
命題B’より、z= cos(απ) + i sin(απ) が、単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
よって、zは円の等分点ではない。従って、Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけである
QED

簡単でしょ（＾＾

http://sun.ac.jp/prof/hnagano/
永野　哲也研 長崎県立大
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602
第16回
(抜粋)
１．円の等分点

zk=cos 2πk/n + i sin 2πk/n (k=1,2,・・・,n)・・・(1)
（∵）　ｚ＝１から測って、n等分点の最初の点ｚ1の偏角は、１周が2π（＝360度)であるので、　2π/n（ラジアン）
である。それ以後のn等分点は、隣の点と角 2π/n(ラジアン)だけ離れているので、
ｚ2の偏角は　2π/n×2（ラジアン）、ｚ3の偏角は　2π/n×3（ラジアン）、・・・、ｚnの偏角は　2π/n×n=2π（ラジアン）となる。

これらは、方程式
　x^n＝１
の根である

１の原始n乗根
　上式（１）で、k=1　と2以上のkについては、nと互いに素となるkの複素数zkを１の原始n乗根という
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/281

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