[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/

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248: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 12:10:24.51 ID:XX3WYJPV >>203 遠隔レス失礼 問題 ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が abc≠0 のとき、自明でない解という。 αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。 ↓ 問題改 単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が (p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。 ここに、iは虚数単位である。 αを cos(απ)=p, sin(απ)=q をみたす実数とすると、 (p,q)が、自明な解でないとき αは無理数であることを示せ。 とします （略証） 背理法を使う p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ) は、単位円の方程式 x^2+y^2=1 を満たしていることに注意する α＝m/n ここに、m、nは整数 と書けたとする cos(απ)＋i*sin(απ)を、2n乗する ｛cos(απ)＋i*sin(απ)}^2n ={cos(m/n π)＋i*sin(m/n π)}^2n ={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n =1 つまり、 cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外 （ここに、ζ2nは、いつもの円分体の根を表す。） ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない よって、矛盾が生じたので、αは有理数ではない。即ち、αは無理数 略証終わり 言いたいことは、こんなことかなー？ これ、確かに面白ね〜（＾＾ 良い視点だと思う！（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/248

249: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 13:03:27.47 ID:XX3WYJPV >>248 補足 読み返すと、文が拙いなー（＾＾ 例えば cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外 　↓ cos(απ)＋i*sin(απ)＝(ζ2n)^h 但し、h>=1 の整数で、ζ2nは、上記の自明な解以外 とか、書くべきかも まあ、普段証明を書かないからね 数学科生は、もっと洗練された表現をするのでしょうね（＾＾ こなれた教科書とか、大学教員の書きぶりをみると、こういうところ気配りがあるよね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/249

250: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 13:27:52.78 ID:XX3WYJPV >>248 タイポ訂正 ={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n 　↓ =cos(2m π)＋i*sin(2m π) ケアレスミスが多いな（＾＾； 気を付けましょう〜！ 試験なら減点されそう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/250

251: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 14:03:03.65 ID:XX3WYJPV >>248 全く蛇足だが ・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね ・p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)は、岩澤理論の下記Lの外なんやろね（岩澤理論は全く理解していませんが（＾＾ ） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%BE%A4%E7%90%86%E8%AB%96 岩澤理論 (抜粋) 円分拡大の数論 1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。 このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。 ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像 Im → In （ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。 (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/251

253: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 14:17:53.33 ID:XX3WYJPV >>248 ”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が (p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。 ここに、iは虚数単位である。” ここらの表現も全く拙いね〜 素人表現やね（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/253

281: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/09(土) 00:40:49.43 ID:c3aU14PB >>274 「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？ ここは、小学生もいるので、変なことを言わないように、お願いします（＾＾ 命題A： 「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」 　↓↑ 命題B：（>>248より）αを cos(απ)=p, sin(απ)=q をみたす実数とすると、(p,q)が、自明な解でないとき αは無理数である これ成立ですよ！ 命題AとBは同値 命題Bが>>248で証明した命題ですよ！ 以下、証明します まず 命題Bを簡明に言い換えると z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)とおいて 命題B’：zが単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である とします 命題Aを簡明に言い換えると 命題A’： 「Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけ」 （円の等分点は、下記 永野哲也先生ご参照 ） １）命題A’→命題B’ 証明 背理法を使う。 zが単位円の有理点であるにも関わらず、zの偏角αは有理数であるとする >>248で示した様に、zは円の等分点になる。これは、命題Aに矛盾する ２）命題B’→命題A’ 証明 命題B’より、z= cos(απ) + i sin(απ) が、単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である よって、zは円の等分点ではない。従って、Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけである QED 簡単でしょ（＾＾ http://sun.ac.jp/prof/hnagano/ 永野　哲也研 長崎県立大 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602 第16回 (抜粋) １．円の等分点 zk=cos 2πk/n + i sin 2πk/n (k=1,2,・・・,n)・・・(1) （∵）　ｚ＝１から測って、n等分点の最初の点ｚ1の偏角は、１周が2π（＝360度)であるので、　2π/n（ラジアン） である。それ以後のn等分点は、隣の点と角 2π/n(ラジアン)だけ離れているので、 ｚ2の偏角は　2π/n×2（ラジアン）、ｚ3の偏角は　2π/n×3（ラジアン）、・・・、ｚnの偏角は　2π/n×n=2π（ラジアン）となる。 これらは、方程式 　x^n＝１ の根である １の原始n乗根 　上式（１）で、k=1　と2以上のkについては、nと互いに素となるkの複素数zkを１の原始n乗根という (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/281

286: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/09(土) 09:01:44.91 ID:c3aU14PB >>248 補足 >ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない >>248の証明では、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾ ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、 （円分多項式は、下記永野哲也先生ご参照） 難しい議論は不要 証明の荒筋だけ書くと 円分多項式で、f(x) =Φn(x) と見慣れた記号に直して 例えば、f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根) もし、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて （ここに、g(x)＝f(x) /(x-ζn) なる多項式です） Φn(x)の既約性に反する。 多項式で f(ζn)=0 → f(x) ＝(x-ζn)g(x) と書けることは、どこにでもある基本事項です （高校の範囲で、証明もどこにでもありそうですが、省略します） 別に、難しいことは何もない 「円分体のガロア群を計算する」なんて必要はありませんよ（＾＾ http://sun.ac.jp/prof/hnagano/ 永野　哲也研 長崎県立大 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602 第16回 (抜粋) ２．円分多項式 　Φn(x)：　１の原始n乗根のみを根にもつ多項式を円分多項式（または円周等分多項式）という。 　定義より以下が正しい。 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-5.jpg http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-6.jpg １の8乗根を単位円周上に図示すると以下のような z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8 である。 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-7.jpg z1、z3、z5、z7　が１の原始8乗根である。 z4　は原始2乗根、z2、z6　は原始4乗根、z8　はもちろん原始1乗根である。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/286

297: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/09(土) 10:56:18.75 ID:c3aU14PB >>248 補足 円分体 1973/74の昔とこの頃ですが （これ、過去にアップしたかも） http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~otsubo/article/cyclotomie.pdf 円分 ? 昔とこの頃* アンドレ・ヴェイユ * Andr´e Weil, La cyclotomie jadis et nagu`ere, S´eminaire BOURBAKI, 26e ann´ee, 1973/74, n ?452, Juin 1974. In: Springer Lecture Notes in Math. 431 (1975), 318-338, ?uvres Scientifiques (全集), Vol. III, 311-327. (大坪紀之による私家版日本語訳, 2012) http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~otsubo/index-j.html 大 坪 紀 之 千葉大学　大学院理学研究院 数学・情報数理学コース http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/297

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