現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60

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186: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/02/06(水) 21:17:09.49 ID:C0V9I9pS

>>178
＞「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど

下記にあるような、円分体のガロア対応をベースに
Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)のガロア群を作って
「矛盾」を示すのもありかね

牛刀ではあるけれども、大学数学とは、むしろ、”牛刀使い”が、賞讃されるような気がする
というか、Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)などは、あくまで学習のための具体例の一つであって
”牛刀の使い方と切れ味”を試すための学習例にすぎないのだと
（私は、まだまだそこへ行っていませんがね（＾＾； ）

http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/17/104038
美的数学のすすめ
2015-04-17
円分体のガロア対応
(抜粋)
　ガロア対応を円分体に応用すると、ガウス周期と、ガロア群の部分群との関係が分かります。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））

ガロアが誕生したのは1811年、1832年に決闘で亡くなるまでにガロアはガウスの円分体論を当然知っていました。ガロアは、このガウスの円分体論を強く意識して（「ガロワ理論下」デイヴィッド・A. コックス、338ページ）、ガロア理論の着想を得たと考えられています。

円分体論とはこれだけのことか？
　ここまで見てきた対応は、ガロア理論の応用です。このガロア理論は、これだけでも十分に驚くべき内容です。ガロア理論は全ての体について成り立つものですが、上のようにきれいな形でガロア対応を記述できるものはそう多くありません。その意味で、上の結果だけでも十分です。
　しかし、円分体論はガロア理論に吸収されてしまうのでしょうか？そうではありません。上のガロア対応にはガロア理論を超えたさらに驚くべき内容が隠されています。それを考えるには、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるのか考える必要があります。

次回は、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるか考えてみます。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/186

189: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/02/06(水) 23:39:27.57 ID:C0V9I9pS

>>186
>ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
>ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））

まあ、下記の「響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日」などをご参照
これ、ちょっと面白いよ（＾＾
http://hooktail.sub.jp/
物理のかぎしっぽ
http://hooktail.org/misc/index.php?%B4%F3%B9%C6
寄稿
数学
上野孝司氏による『君の為の数学原論』シリーズ †
http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire32160913tu.pdf
響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日
（ガロアのf 項周期について、図解するなど詳しくしました）

群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群(上野孝司 著)
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群（第２版）(上野孝司 著)
恐るべし、数学技術―ガウス積分とバーゼル問題(上野孝司 著)
バーゼル問題一般化にベルヌーイの執念、cot の解析がカギ(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考（第２版）(上野孝司 著)
Ｎ次元超球の体積はヤコビアン、曲面積は平行四辺形(上野孝司 著)
加群構造定理が源流―アーベル基本定理とジョルダン標準形(上野孝司 著)
金融工学 ‐ オプション価格は熱方程式、ブラック・ショールズモデル(上野孝司 著)
解析か代数か - 物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式(上野孝司 著)
あっと驚く証明―ケイレイ−ハミルトンの定理、行列式の応用(上野孝司 著)
金融工学：ポートフォリオのリスク評価は共分散ー資産選択理論(上野孝司 著)
環論と存在性―複素数とはなんだろうか(上野孝司 著)
ローラン展開と留数解析―複素解析概論(上野孝司 著)
驚くべき中国式剰余定理(上野孝司 著)
多変数解析への誘い―デカルトの葉線と陰関数定理(上野孝司 著)（シリーズ完結）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/189

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