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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/
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158: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/05(火) 19:15:13.78 ID:ymaflZ3n >問1 cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) cos((n-1)π/n)=-cos(π/n) でnが奇数ならn-1=2mと表せて cosの2m倍角公式がsinだけで書ける ことを使えばいいんじゃね？ >問2 sin(π/n)はQ(cos(π/n))には含まれない 逆はちと難しいな sinの2m倍角公式がcosだけでは書けない といえばいいんだろうけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/158
159: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 21:18:35.33 ID:YkzLfObS >>158 >cosの2m倍角公式がsinだけで書ける >ことを使えばいいんじゃね？ おお、なるほどね〜（＾＾ cos((n-1)π/n)=cos(2mπ/n) π/n：＝θとして cos(2mθ)= 1-2(sin(mθ))^2 =1-2Sm((sinθ)^2) ここに、Smは、下記のm 次の spread 多項式か なるほどね（＾＾； うまいね〜（＾＾ ザブトン１枚！ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7 三角関数の公式の一覧 (抜粋) 倍角・三倍角・半角の公式 cos2θ ＝ 1-2(sinθ)^2 倍角公式 Sn は n 次の spread 多項式 (sin(nθ))^2 =Sn((sinθ)^2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/159
171: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:34:23.12 ID:C0V9I9pS >>160 追加 ようやく、問題の構造が分った〜！（＾＾ 下記「Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。」で 最大実部分体 or 実円分体 が、キーワードやね これで、検索すると、いろいろヒットするね それは、ともかく Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p) という構造なんやね で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾ で、sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない） だと、それを示せば良いのだ なお、Q(sinπ/p)＝Q(ζ4p + 1/ζ4p)なのでしょうね、多分 Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)は、>>158-159で終わったが ”sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）”の細部の証明が、まだ示せないスレ主でした（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93 円分体 (抜粋) 性質 ・Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/171
523: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 00:00:44.35 ID:qyW7buAe >>522 つづき で、これを因数分解で見ると x^4p - 1 ＝(x^2p - 1)(x^2p + 1) ＝(x^p - 1)(x^p + 1)(x^2p + 1) ＝0 x^p ＝ 1 から、ζpがでる x^p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ2pがでるが、Q(ζp)＝ Q(ζ2p) x^2p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ4pがでる 体の拡大の次数は |Q(ζp)：Q|＝p-1 |Q(ζ2p)：Q|＝p-1 |Q(ζ4p)：Q|＝2(p-1) |Q(ζp)∩ R：Q|＝|Q(ζ2p)∩ R：Q|＝(p-1)/2 |Q(ζ4p)∩ R：Q|＝p-1 >>114の 問1：cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) の証明は、 >>158-159の通りで、 「nが奇数ならn-1=2mと表せてcosの2m倍角公式がsinだけで書ける」（spread 多項式 Smを使う）ことから従う 問2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)の略証は、>>178に書いた通り あと残っているのは ”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、 まだ示せていない（＾＾； 追伸 なお、ここらの式変形やテクニックは、円分体やガロア理論では頻出だったよね、確か（＾＾； まあ、ガウスなら秒殺で浮かぶだろうことが、鈍才のスレ主は、思いだしながら１週間くらいかかったよ（＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/523
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