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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/
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131: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/05(火) 07:06:41.74 ID:VAkhjfr2 >>115 結局、その命題から次のことが分かる。 Zを整数環とする。(1/2)Zに含まれない任意の 有理数に対してその既約分数表示をm/nとすると nが奇数のとき Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。 nが2で割れるが4で割れないとき Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。 nが4で割れるとき Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/131
134: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 07:44:21.15 ID:YkzLfObS >>131-133 ありがとう これ、被っているかも知れないが >>116 つづき 数学雑記さん（>>114）は、sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し ζ4pを使っている ζ4p=e^(2πi/4p)=cos(2π/4p)+i*sin(2π/4p) ζ4p=e^(πi/2p)=cos(π/2p)+i*sin(π/2p) なので、 cos(π/2p)∈ Q(ζ4p) i*sin(π/2p)∈ Q(ζ4p) (直ちに、-{sin(π/2p)}^2∈ Q(ζ4p) ｜蛇足だが実数化した) で、倍角公式で cos2θ＝cos^2θ-sin^2θ、sin2θ＝2sinθcosθ を使うと cos(π/p)∈ Q(ζ4p) sin(π/p)∈ Q(ζ4p) が分る （cos(π/p)∈ Q(ζ4p)の方は、cos(π/p)∈ Q(ζ2p)から自明ですけどね） で、Q(sin(π/p))⊂ Q(ζ4p) が示せた これをベースに、>>114の 問1 cos(π/p)∈Q(sin(π/p)) 問2 sin(π/p)はQ(cos(π/p))には含まれない については、 Q(ζ4p)、Q(ζ2p)、Q(sin(π/p))とQ(cos(π/p))の関係を見て行けば良い つまり、円分体の理論が即つかえる それを、具体的に実行しているのが、 数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216 なのですね（＾＾ 細かくは、また後で https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7 三角関数の公式の一覧 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/134
198: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 08:29:59.74 ID:oVjUP8PL >>131は証明できましたか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/198
221: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 19:21:56.89 ID:ciEPvBoP >>131 >Zを整数環とする。 >(1/2)Zに含まれない任意の有理数に対して >その既約分数表示をm/nとすると > >nが奇数のとき >Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。 > >nが2で割れるが4で割れないとき >Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。 > >nが4で割れるとき >Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)). そういうことでしたか よろしければ元ネタを教えていただけますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/221
562: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/11(月) 10:13:23.62 ID:61ruhzCC >>131も参照 要するにπ/2シフトで 「nが奇数のとき」と「nが2で割れるが4で割れないとき」 が入れ替わり 「nが4で割れるとき」は不変 sinとcos 全てのケースで入れ替わり という関係になっている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/562
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