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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/
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116: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/04(月) 23:46:13.86 ID:/k6m2Duw つづき これね、いいわ（＾＾ ガロアスレらしいよね、このテーマは！（＾＾； e^(ix)=cos(x)+i*sin(x) 1/e^(ix)=cos(x)-i*sin(x) だから、 奇素数pで、1のベキ根 ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π) ζp+1/ζp=2cos(2π/p) ζp-1/ζp=2i*sin(2π/p) Qの拡大体で、円分体 Q(ζp)として cos(2π/p)∈ Q(ζp) i*sin(2π/p)∈ Q(ζp) さらに cos(π/p)∈ Q(ζ2p) i*sin(π/p)∈ Q(ζ2p) 円分体で、これが基本なんだよね 続きは、また後で（＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/116
123: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/05(火) 00:03:14.88 ID:YkzLfObS >>116 タイポ訂正 （＾＾ ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π) ↓ ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π/p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/123
134: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 07:44:21.15 ID:YkzLfObS >>131-133 ありがとう これ、被っているかも知れないが >>116 つづき 数学雑記さん（>>114）は、sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し ζ4pを使っている ζ4p=e^(2πi/4p)=cos(2π/4p)+i*sin(2π/4p) ζ4p=e^(πi/2p)=cos(π/2p)+i*sin(π/2p) なので、 cos(π/2p)∈ Q(ζ4p) i*sin(π/2p)∈ Q(ζ4p) (直ちに、-{sin(π/2p)}^2∈ Q(ζ4p) ｜蛇足だが実数化した) で、倍角公式で cos2θ＝cos^2θ-sin^2θ、sin2θ＝2sinθcosθ を使うと cos(π/p)∈ Q(ζ4p) sin(π/p)∈ Q(ζ4p) が分る （cos(π/p)∈ Q(ζ4p)の方は、cos(π/p)∈ Q(ζ2p)から自明ですけどね） で、Q(sin(π/p))⊂ Q(ζ4p) が示せた これをベースに、>>114の 問1 cos(π/p)∈Q(sin(π/p)) 問2 sin(π/p)はQ(cos(π/p))には含まれない については、 Q(ζ4p)、Q(ζ2p)、Q(sin(π/p))とQ(cos(π/p))の関係を見て行けば良い つまり、円分体の理論が即つかえる それを、具体的に実行しているのが、 数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216 なのですね（＾＾ 細かくは、また後で https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7 三角関数の公式の一覧 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/134
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