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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/
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115: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/04(月) 23:45:40.73 ID:/k6m2Duw >>114 つづき スレ59 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/809 809 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/02/03(日) 05:09:06.36 ID:wDePzez3 >>381に書いたけどもう一度書くと Qを有理数体、Rを実数体とする。 オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x). xをsin(x)≠0である任意の実数とする。 （すなわちxはπの整数倍でない任意の実数。） K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。 2次拡大であることはいいでしょう？ (i*sin(x))^2=cos(x)^2-1∈K でまた Kは実の体で、虚数 i*sin(x)は含まれてないからL/Kは真の拡大だ。 2次ということは、2が素数であることから中間体が存在しないということ。 従って、sin(x)がLに含まれるなら、そもそもKに含まれていなければならない。 sin(x)がLに含まれないとき、Q(sin(x))/KはL/Kとは別の2次拡大だ。 次の命題が成立することが分かる。 命題 sin(x)∈K ⇔ i∈L. この命題を>>42の問2に適用すると、結局、証明はiがQ(ζ) （ζは1の原始n乗根）に含まれないことの証明に帰することが分かる。 （ e^(iπ/n)は1の原始2n乗根だが、それは-ζとして 実現できるから、体としてはn乗根の体と同じ。） これはほとんど自明のようだが、キッチリ証明するためには 大学の数学が必要。 (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/115
131: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/05(火) 07:06:41.74 ID:VAkhjfr2 >>115 結局、その命題から次のことが分かる。 Zを整数環とする。(1/2)Zに含まれない任意の 有理数に対してその既約分数表示をm/nとすると nが奇数のとき Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。 nが2で割れるが4で割れないとき Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。 nが4で割れるとき Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/131
176: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 12:03:20.17 ID:QNIYYpOH >>171 補足 ほんと蛇足だが Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)⊂Q(ζ4p) Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p) で、下記の円分体の性質から 4p＝4*pと因数分解できて Q(ζ4p)は、Q(ζ4)とQ(ζp)との合成体と見ることができる ここから、攻める手もありそうですな〜（＾＾； すぐに何か浮かぶわけではないのが、鈍才のつらいところです（＾＾ ガウスのように始めよ、すぐガウスでないことに気づく・・のだが・・ｗｗ（＾＾ ζ4＝cos2π/4 + i*sin2π/4 =cosπ/2 + i*sinπ/2 =i か・・ これ、多分>>115より "K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。" と繋がっているんだろうね・・ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93 円分体 (抜粋) 性質 ・3 以上の整数 m に対して、円分体 Q (ζm) の拡大次数 [ Q (ζm): Q ]は、φ (m)である。 但し、φ (n)はオイラー関数である。 ・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。 ・3 以上の整数 m に対して、 m=p_1^{e_1・・・ p_{r}^{e_{r} ( p_1,・・・ ,\ p_{r} は、相異なる素数、 e_1,・・・ ,e_{r} >= 1) と素因数分解すると、 Q (ζm) は、 Q (ζ{p_1^{e_1}}),・・・ ,Q (ζ{p_{r}^{e_{r}}) の合成体であり、 Gal ( Q (ζm)/ Q )〜＝ ( {Z} /m {Z} )^x〜＝ ( {Z} /p_1^{e_1} {Z} )^x X ・・・ X ( {Z} /p_{r}^{e_{r}} {Z} )^x が成立する。 また、円分体 Q (ζm)} で分岐する有理素数[1]は、 p_1,・・・ , p_{r} に限る。 (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/176
179: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:02:27.93 ID:QNIYYpOH >>178 補足 この背理法は、多分 これ、>>115より "K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。" と同じ話だろうね ”背理法”と呪文を唱えると 証明っぽくなるよね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/179
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