[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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198: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 08:29:59.74 ID:oVjUP8PL(1/6) AAS
>>131は証明できましたか？
199(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 08:42:20.06 ID:oVjUP8PL(2/6) AAS
αが有理数のとき
Q(cos(απ))⊂Q(sin(απ)) または
Q(cos(απ))⊃Q(sin(απ)) または
Q(cos(απ))=Q(sin(απ))
が成立する、言い方を変えれば、√(1-sin(απ)^2),√(1-cos(απ)^2)
の少なくとも一つのルートが外れる というのは著しいことであって
ほとんどすべての無理数に対してはこのような包含関係はない
つまり「ほとんどすべての無理数αに対しては上記のルートは両方とも外れない」
練習問題 そのことを示しなさい。
200(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 08:48:11.22 ID:oVjUP8PL(3/6) AAS
cos(απ)+i*sin(απ)が複素数の乗法に関して生成する群をC(α)とおくと
αが有理数か無理数かに従って、C(α)は有限群、または無限群。
これは即座に分かる。
203(4): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 08:58:41.75 ID:oVjUP8PL(4/6) AAS
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
解
C(α)が有限群のとき
それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
ことより、a/c+ib/cは適合しない。
ゆえに、C(α)は無限群であり、αは無理数である。
215: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 11:59:46.94 ID:oVjUP8PL(5/6) AAS
>>210
あなたはご自分で「馬鹿」だとおっしゃっておられるので
本当に謙虚に心からそう思っておられるなら、まずは
ご自分が間違っている可能性からお考えになるべきかと思います。
円分体をお勉強される前に、「1のべき根」の定義から
是非お勉強されてください。
229(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 21:29:01.31 ID:oVjUP8PL(6/6) AAS
>>221-222
>よろしければ元ネタを教えていただけますか？
先日自分で考えました。
円分体や体論やってるひとからすると常識レベルかもしれませんが。
>>「ほとんどすべての無理数αに対しては
>>上記のルートは両方とも外れない」
>そうだろうけど、証明は難しそうですな。
難しくはないと思います。
「無理数」とぼかしましたが
x=sin(απ)が超越数のときを考えます。
そのときQ(x)はxを不定元とするQ上の有理函数体と同型なので
Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がないというだけです。
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