[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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123: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/05(火) 00:03:14.88 ID:YkzLfObS(1/8) AAS
>>116 タイポ訂正 （＾＾
ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π)
↓
ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π/p)
124(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/05(火) 00:05:16.22 ID:YkzLfObS(2/8) AAS
流すのは、せめて重川や逆瀬川くらいは最低読んだ人で無いと、時枝は無理だと
というか、落ちこぼれは、からっきし、確率過程論が分っていないねと
話しにならんぜ（＾＾；
129: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/05(火) 06:44:10.86 ID:YkzLfObS(3/8) AAS
>>128
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>まあ、東大の人には芸能界のアイドルに興味を持っているオタクっぽい人がいるということは分かった。
それ、一般論として
”東大の人の中には芸能界のアイドルに興味を持っているオタクっぽい人がいるだろうとは、いえる。”なら正しい
しかし、それがサイコの落ちこぼれのことなら
”東大を”自称する落ちこぼれ”が、芸能界のアイドルに興味を持っているオタクっぽい、数学科出身の”不遇な人”だということが、分かった。”が、正しいな（＾＾；
130(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/05(火) 07:05:37.45 ID:YkzLfObS(4/8) AAS
下記引用の時枝で
1 ,2 ,3 ,・・・,n ,・・・→∞
↓（単位分数に変換します）
1/1,1/2,1/3,・・・,1/n,・・・→1/∞
これで、Bn=(0,ε) | ε=1/(n-1) のε近傍系の概念が使える
ここで、もし、nが具体的な”固定”された自然数に止まるならば、ε近傍系として機能しないことはあきらか
”∀nを考えるべし”だ
つまりは、アキレスと亀と同じで、ある具体的なn1があったとしても、
それに止まらずn1 ＜ n2なるn2を考えなければ、ε近傍系は機能しない
これが、時枝記事の決定番号の正体ですよ〜（＾＾
ある具体的なn1よりも、n1 ＜ n2なるn2の方が、常に出現頻度が高いのだよと
そういう状況で、決定番号の大小比較で確率計算ができるのか？ 確率空間をちゃんと書いて見ろよ、おい！ ｗ（＾＾
スレ59 2chｽﾚ:math
(抜粋)
時枝を考えるのに
1 ,2 ,3 ,・・・,n ,・・・→∞
↓（単位分数に変換します）
1/1,1/2,1/3,・・・,1/n,・・・→1/∞
が結構気に入っているんだが（＾＾
下記のε近傍系にならって、開区間の族 Bn=(0,ε) | ε=1/(n-1) を考える
スレ47 2chｽﾚ:math 時枝記事より
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D%E7%B3%BB
近傍系
例
距離空間の任意の点 x に対して、x を中心とする半径 1/n の開球体の列
{B}(x)={B_{1/n}(x);n∈ {N} ^{*}
は可算な基本近傍系をなす。ゆえに、任意の距離空間は第一可算である。
(引用終り)
一致するしっぽは、Bn=(0,ε) | ε=1/(n-1) の中に入る。
開区間の族であり、同値類はε→∞ の極限を考える必要がある
ところで、{1/1,1/2,1/3,・・・,1/n,・・・→1/∞} ⊂ (0,1] と、数列は半開区間(0,1]の中に表現できる。
同値類でε→∞ の極限を考えるということは、
Bnはどんどん縮小し、
半開区間(0,1] の箱で、ほとんど当たらないということを意味する
(引用終り)
134(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 07:44:21.15 ID:YkzLfObS(5/8) AAS
>>131-133
ありがとう
これ、被っているかも知れないが
>>116
つづき
数学雑記さん（>>114）は、sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し
ζ4pを使っている
ζ4p=e^(2πi/4p)=cos(2π/4p)+i*sin(2π/4p)
ζ4p=e^(πi/2p)=cos(π/2p)+i*sin(π/2p)
なので、
cos(π/2p)∈ Q(ζ4p)
i*sin(π/2p)∈ Q(ζ4p)
(直ちに、-{sin(π/2p)}^2∈ Q(ζ4p) ｜蛇足だが実数化した)
で、倍角公式で
cos2θ＝cos^2θ-sin^2θ、sin2θ＝2sinθcosθ
を使うと
cos(π/p)∈ Q(ζ4p)
sin(π/p)∈ Q(ζ4p)
が分る
（cos(π/p)∈ Q(ζ4p)の方は、cos(π/p)∈ Q(ζ2p)から自明ですけどね）
で、Q(sin(π/p))⊂ Q(ζ4p) が示せた
これをベースに、>>114の
問1 cos(π/p)∈Q(sin(π/p))
問2 sin(π/p)はQ(cos(π/p))には含まれない
については、 Q(ζ4p)、Q(ζ2p)、Q(sin(π/p))とQ(cos(π/p))の関係を見て行けば良い
つまり、円分体の理論が即つかえる
それを、具体的に実行しているのが、
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
なのですね（＾＾
細かくは、また後で
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
三角関数の公式の一覧
つづく
135: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 07:46:04.00 ID:YkzLfObS(6/8) AAS
>>134
つづき
（関係ないけどご参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E4%B9%97%E6%B3%95
(抜粋)
虚数乗法とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。
特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。
虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルト(David Hilbert)は、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている。 [1]
クロネッカーとアーベル拡大
レオポルト・クロネッカーは、楕円曲線の位数有限の点での楕円函数の値が虚二次体のすべてのアーベル拡大を生成するに十分であるというアイデアを提唱した。これは特別な場合にはアイゼンシュタインやガウス(Carl Friedrich Gauss)によりすでに研究されていた。
これがクロネッカーの青春の夢（ヒルベルトの第12問題）であり、上記のヒルベルトの指摘したことである。志村の相互法則を通して、有理数体のアーベル拡大が 1のべき根の方法で構成できることを示し、類体論をより明白なものとしている。
実際、K を類体 H をもつ虚二次体として、E を H 上に定義された K の整数によって虚数乗法を持つ楕円曲線とする。このとき K の最大アーベル拡大は、H 上の E のあるヴァイエルシュトラスのモデルの有限位数の点の x-座標により生成される。[3]
クロネッカーのアイデアには多くの一般化が考えられる。しかしながら、ラングランズ哲学の主要な方向性とはすこし異なるもので、今のところ決定的なステートメントは知られていない。
(引用終り)
以上
159(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 21:18:35.33 ID:YkzLfObS(7/8) AAS
>>158
>cosの2m倍角公式がsinだけで書ける
>ことを使えばいいんじゃね？
おお、なるほどね〜（＾＾
cos((n-1)π/n)=cos(2mπ/n)
π/n：＝θとして
cos(2mθ)= 1-2(sin(mθ))^2 =1-2Sm((sinθ)^2)
ここに、Smは、下記のm 次の spread 多項式か
なるほどね（＾＾；
うまいね〜（＾＾
ザブトン１枚！
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
三角関数の公式の一覧
(抜粋)
倍角・三倍角・半角の公式
cos2θ ＝ 1-2(sinθ)^2
倍角公式
Sn は n 次の spread 多項式
(sin(nθ))^2 =Sn((sinθ)^2)
160(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 22:06:47.90 ID:YkzLfObS(8/8) AAS
>>152 タイポ訂正の訂正
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/p
↓
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/4p=2sinπ/2p
Q(sin2π/p)を考えようというのが
↓
Q(sinπ/p)を考えようというのが
これもとい。訂正の方が間違っていた（＾＾；
いやー、おっちゃんのこと言えんな〜（＾＾；
下記と混同していたな
スレ59 2chｽﾚ:math
(抜粋)
Q(cos2π/p)とQ(sin2π/p)と問題で
sin2π/p=cos{2π/p-π/2}=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用
↓
この類推で
原問のQ(cosπ/p)とQ(sinπ/p)では
sinπ/p=cos{2π/2p-π/2}=cos{2π(2-p)}/4pであることを利用
とでもして、
ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)＝2cos{2π(2-p)}/4p＝2sinπ/p
なので
ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k
を作って、
OG(sinπ/p)
を作るのでしょうか？
だからOG(sinπ/p)の元を調べて、
2sinπ/p = ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)
は、OG(cosπ/p) の外だと言えればいい
(引用終り)
と、自分で書いたのに、ボケとるよなー、おれって・・（＾＾；
で、ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)kが、拡大Q（sinπ/p）の原始元になっていれば、嬉しい
で、繰り返しになるが
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
が、解答の中でやっているように
ζ4p + 1/ζ4p を作ることができれば、これは2cos 2π/(4p)=2cosπ/(2p)
なので、倍角公式で、cosπ/p が出せる
gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とかに似た話しはどっかで読んだ気がするのだが
{ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k}を何度も掛けていく（べき乗を作る）と思った・・（＾＾；
ここらの式変形はガウスのDAにあったかもね・・。もし、あったらガウスはほんと天才やね（＾＾
（彼は、19歳でDAをほとんど書き上げたというからね・・）
まあ、もうちょっと、調べてみましょう
確かに、ここらは（円分体は）、いろんな数論の出発点やね・・
知っといて損はない。というか、知っておく方が絶対良いよね
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