[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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247: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 11:33:12.09 ID:XX3WYJPV(1/20) AAS
>>244-246
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうで何よりです。
いつもどおり、おっちゃん節健在ですね
「やはり、γは有理数だった」ｗ（＾＾
248(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 12:10:24.51 ID:XX3WYJPV(2/20) AAS
>>203
遠隔レス失礼
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
↓
問題改
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。
αを
cos(απ)=p, sin(απ)=q
をみたす実数とすると、
(p,q)が、自明な解でないとき
αは無理数であることを示せ。
とします
（略証）
背理法を使う
p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)
は、単位円の方程式 x^2+y^2=1
を満たしていることに注意する
α＝m/n ここに、m、nは整数
と書けたとする
cos(απ)＋i*sin(απ)を、2n乗する
｛cos(απ)＋i*sin(απ)}^2n
={cos(m/n π)＋i*sin(m/n π)}^2n
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
=1
つまり、
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
（ここに、ζ2nは、いつもの円分体の根を表す。）
ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
よって、矛盾が生じたので、αは有理数ではない。即ち、αは無理数
略証終わり
言いたいことは、こんなことかなー？
これ、確かに面白ね〜（＾＾
良い視点だと思う！（＾＾
249: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 13:03:27.47 ID:XX3WYJPV(3/20) AAS
>>248
補足
読み返すと、文が拙いなー（＾＾
例えば
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
↓
cos(απ)＋i*sin(απ)＝(ζ2n)^h 但し、h>=1 の整数で、ζ2nは、上記の自明な解以外
とか、書くべきかも
まあ、普段証明を書かないからね
数学科生は、もっと洗練された表現をするのでしょうね（＾＾
こなれた教科書とか、大学教員の書きぶりをみると、こういうところ気配りがあるよね
250: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 13:27:52.78 ID:XX3WYJPV(4/20) AAS
>>248 タイポ訂正
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
↓
=cos(2m π)＋i*sin(2m π)
ケアレスミスが多いな（＾＾；
気を付けましょう〜！
試験なら減点されそう
251(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 14:03:03.65 ID:XX3WYJPV(5/20) AAS
>>248
全く蛇足だが
・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
・p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)は、岩澤理論の下記Lの外なんやろね（岩澤理論は全く理解していませんが（＾＾ ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%BE%A4%E7%90%86%E8%AB%96
岩澤理論
(抜粋)
円分拡大の数論
1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。
このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。
ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像
Im → In
（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。
(引用終わり)
252(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 14:06:29.41 ID:XX3WYJPV(6/20) AAS
>>251
これも、全く余談だが
・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
・時枝記事のように、どこの教科書にもなく、どこの論文でも扱われていない。あるいは、大定理の系とは真逆だと。そういう命題は、おそらくは眉づばですよね（＾＾
253(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 14:17:53.33 ID:XX3WYJPV(7/20) AAS
>>248
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
ここらの表現も全く拙いね〜
素人表現やね（＾＾；
254: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 14:29:13.83 ID:XX3WYJPV(8/20) AAS
>>253
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
↓
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
くらいに書くと、まだ読めるかな
いくら時間がなくとも、これくらいは書かないとね
まあ、手を入れだすと際限がないので、あとはスルーしてたもれ（＾＾
256(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 15:53:08.92 ID:XX3WYJPV(9/20) AAS
>>255
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
な
257: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 15:55:46.55 ID:XX3WYJPV(10/20) AAS
>>256 補足
なので、回答はN
p^2+(iq)^2=1の意味でいいか？
↓
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
ってことです
258(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 16:39:20.63 ID:XX3WYJPV(11/20) AAS
>>251
>・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
いま検索中で、見つからない
下記は、関係ないけど、面白そうだから貼る（＾＾
http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=504&page_type=materials
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
http://ocw.nagoya-u.jp/files/504/LectureNote.pdf
連分数，フォードの円，双曲幾何 平成27年度前期 糸健太郎 名大
講義ノート 数学展望?(一括ファイル, 67ページ) (PDF 文書, 1209KB) 2015
259(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 16:48:23.07 ID:XX3WYJPV(12/20) AAS
>>258
いや、確かに
（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど
思い返しても、記憶に引っかかってこない
まあ、みんなピタゴラスの整数解が見つかったとか
無限個あって、よしよしで終わっていた気がするね
和書にはなかも
英文探すのも大変だが（＾＾
260: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 16:49:19.97 ID:XX3WYJPV(13/20) AAS
>>259 タイポ訂正
和書にはなかも
↓
和書にはないかも
261(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 17:19:19.57 ID:XX3WYJPV(14/20) AAS
>>259 補足
そうか、”ゲルフォント、シュナイダー”か
下記
命題P：有理数ではない代数的数 α → 命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数
対偶
¬命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数ではない → ¬命題P：αは有理数か超越数
で
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数の例
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0 に対する、 sin{α}, cos{α}, tan{α} 。 (リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass))
・有理数ではない代数的数 α に対する、 sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
(引用終わり)
262: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 17:20:39.27 ID:XX3WYJPV(15/20) AAS
>>261
ゼミだと
「”ゲルフォント、シュナイダー”の証明は？」とか
ツッコミありそう（＾＾；
263: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 17:25:56.73 ID:XX3WYJPV(16/20) AAS
>>261
”いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？”
(引用終わり)
まあ、それこそ、この程度のことは、
どっかにだれかが書いてそうだが、
疲れたので、ここまでだな？
”ゲルフォント、シュナイダー”まで行くと
もろ、本格的に超越数論だからね〜、
ちょっと私の手に余る（＾＾
266(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 17:57:57.73 ID:XX3WYJPV(17/20) AAS
>>252
>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
まあ、
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数なので
それで、上記のように
αは有理数が否定されて
”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
αは、超越数が言えるってことでしょう
超越数論以外では、だれも触れないんだろうね
ピタゴラス数で終われば、高校数学の範囲だしね
大学数学だと、
超越数論で”ゲルフォント、シュナイダー”やれば分かるのだと
いやいや、>>203は なかなか面白い視点でしたね
267: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 18:00:51.93 ID:XX3WYJPV(18/20) AAS
>>264
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
”臨時別冊・数理科学”ね
あれ、結構本格的やね
どれもむずいわ（＾＾
268: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 18:01:13.95 ID:XX3WYJPV(19/20) AAS
>>265
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
269: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/08(金) 18:05:40.22 ID:XX3WYJPV(20/20) AAS
>>266
>>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
>”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
>αは、超越数が言えるってことでしょう
暗に、時枝記事はそうじゃないよと
（だれも扱わない）
ダメダメですよと
早く気づけよ、おい
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