現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60

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176: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/02/06(水) 12:03:20.17 ID:QNIYYpOH

>>171 補足

ほんと蛇足だが
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)⊂Q(ζ4p)
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)

で、下記の円分体の性質から
4p＝4*pと因数分解できて
Q(ζ4p)は、Q(ζ4)とQ(ζp)との合成体と見ることができる
ここから、攻める手もありそうですな〜（＾＾；

すぐに何か浮かぶわけではないのが、鈍才のつらいところです（＾＾
ガウスのように始めよ、すぐガウスでないことに気づく・・のだが・・ｗｗ（＾＾

ζ4＝cos2π/4 + i*sin2π/4 =cosπ/2 + i*sinπ/2 =i
か・・

これ、多分>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と繋がっているんだろうね・・

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
性質
・3 以上の整数 m に対して、円分体    Q (ζm) の拡大次数   [ Q (ζm): Q ]は、φ (m)である。
　但し、φ (n)はオイラー関数である。
・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
・3 以上の整数 m に対して、   m=p_1^{e_1・・・ p_{r}^{e_{r}  ( p_1,・・・ ,\ p_{r} は、相異なる素数、   e_1,・・・ ,e_{r} >= 1) と素因数分解すると、
Q (ζm) は、   Q (ζ{p_1^{e_1}}),・・・ ,Q (ζ{p_{r}^{e_{r}}) の合成体であり、
Gal ( Q (ζm)/ Q )〜＝ ( {Z} /m {Z} )^x〜＝ ( {Z} /p_1^{e_1} {Z} )^x　X ・・・ X ( {Z} /p_{r}^{e_{r}} {Z} )^x
が成立する。
　また、円分体    Q (ζm)} で分岐する有理素数[1]は、   p_1,・・・ , p_{r} に限る。
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/176

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