[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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176(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 12:03:20.17 ID:QNIYYpOH(1/7) AAS
>>171 補足
ほんと蛇足だが
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)⊂Q(ζ4p)
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)
で、下記の円分体の性質から
4p＝4*pと因数分解できて
Q(ζ4p)は、Q(ζ4)とQ(ζp)との合成体と見ることができる
ここから、攻める手もありそうですな〜（＾＾；
すぐに何か浮かぶわけではないのが、鈍才のつらいところです（＾＾
ガウスのように始めよ、すぐガウスでないことに気づく・・のだが・・ｗｗ（＾＾
ζ4＝cos2π/4 + i*sin2π/4 =cosπ/2 + i*sinπ/2 =i
か・・
これ、多分>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と繋がっているんだろうね・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
性質
・3 以上の整数 m に対して、円分体 Q (ζm) の拡大次数 [ Q (ζm): Q ]は、φ (m)である。
但し、φ (n)はオイラー関数である。
・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
・3 以上の整数 m に対して、 m=p_1^{e_1・・・ p_{r}^{e_{r} ( p_1,・・・ ,\ p_{r} は、相異なる素数、 e_1,・・・ ,e_{r} >= 1) と素因数分解すると、
Q (ζm) は、 Q (ζ{p_1^{e_1}}),・・・ ,Q (ζ{p_{r}^{e_{r}}) の合成体であり、
Gal ( Q (ζm)/ Q )〜＝ ( {Z} /m {Z} )^x〜＝ ( {Z} /p_1^{e_1} {Z} )^x X ・・・ X ( {Z} /p_{r}^{e_{r}} {Z} )^x
が成立する。
また、円分体 Q (ζm)} で分岐する有理素数[1]は、 p_1,・・・ , p_{r} に限る。
(引用終わり)
177(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 13:36:21.54 ID:QNIYYpOH(2/7) AAS
>>176 蛇足
これも蛇足だが
ζ2＝cos2π/2 + i*sin2π/2 =cosπ + i*sinπ =-1
なので、
Q(ζ2p)＝Q(ζp)・・・(1)
かな？
で、
Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)・・・(2)
（iとζpとを添加した体）
と見ることができて
Q(ζ2p)⊂Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
ζ2p - 1/ζ2p ＝-2i*sinπ/p
だったから
sinπ/p ∈ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
は、すぐに得られるね
だから、どうしたと言われそうだがね
で、問題は、
(>>114)
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
をどう示すかなのだが
こういう場合に、背理法が使えればいいのだが
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p) を仮定して、
うまく矛盾が導かれるかどうか
（当然矛盾はしているのだが・・）
鈍才の私には、なかなか閃きません（＾＾；
178(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 15:59:08.09 ID:QNIYYpOH(3/7) AAS
>>177 追加
ちょっと閃いたね〜ｗ（＾＾
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
（略証）
背理法を使う
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
が成り立つとする
ζp-1/ζp =2i*sinπ/p∈ Q(ζp)
だから
i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
となる
そうすると
Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)となる＊）
これは、矛盾である
QED
＊）注：Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)の矛盾を示すところで
円分体の大定理(>>176)を使うというのが、結構大げさなんだけどね（＾＾；
まあ、昔受験時代に読んだ、「大学への数学」でよく言われたのが
「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
（当時は、大学で扱う大定理の系として、問題を解くみたいな使い方だったと思ったが）
まあ、この問題では、円分体の理論との結びつきという意味で、一番見通しがいいかもね
円分体の大定理の証明？ それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ
まあ、どこか探せば、PDFが落ちていると思うし、教科書とかにも載ってそうです
（高木の整数論とかにないかな （これは持ってないんだが）？（＾＾； ）
http://www.kokin.rr-livelife.net/koto/koto_ki/koto_ki_4.html
ことわざ図書館
(抜粋)
牛刀をもって鶏を割くぎゅうとうをもってにわとりをさく
「鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん」ともいう。
小事を処理するのに、大掛かりな手段を用いることのたとえ。
179: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:02:27.93 ID:QNIYYpOH(4/7) AAS
>>178 補足
この背理法は、多分
これ、>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と同じ話だろうね
”背理法”と呪文を唱えると
証明っぽくなるよね（＾＾
180: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:05:20.07 ID:QNIYYpOH(5/7) AAS
>>178
>円分体の大定理の証明？ それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ
加川ゼミでこれやると、「証明は？」と言われて、
黒板ハリツケの刑で、私は立ち往生ですね （＾＾
181: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:20:31.97 ID:QNIYYpOH(6/7) AAS
>>178
>i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
>となる
昔、高校数学で、割り算のとき
「必ず 分母 ≠0 を言え」と、口酸っぱく言われたね（＾＾；
分母 ≠0 と 分母 ＝0 の場合で、
場合分けを、落とし穴として引っかけで、
証明の出題をしている場合が多いのだとかね
一言書いてあるだけで、印象が違うとかも言われた
まあ、sinπ/p ≠0 は良いでしょうね（＾＾
182: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:23:25.67 ID:QNIYYpOH(7/7) AAS
>>178 タイポ訂正 （流しを兼ねて）
i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
↓
i = （i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
ケアレスミスが多いな
注意しましょうね（＾＾；
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