[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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169: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:12:08.07 ID:C0V9I9pS(1/10) AAS
>>166
これは、キチガイを取締る役代表の方ですね
（おやじギャグを解説しても白けるが、会社の”代表取締役”のパロなのです、ハイ（＾＾； ）
キチガイ取締りパトロール、ご苦労さまです（＾＾
煮ても焼いても食えないね、サイコやろうは
171(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:34:23.12 ID:C0V9I9pS(2/10) AAS
>>160 追加
ようやく、問題の構造が分った〜！（＾＾
下記「Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。」で
最大実部分体 or 実円分体 が、キーワードやね
これで、検索すると、いろいろヒットするね
それは、ともかく
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)
という構造なんやね
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
で、sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）
だと、それを示せば良いのだ
なお、Q(sinπ/p)＝Q(ζ4p + 1/ζ4p)なのでしょうね、多分
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)は、>>158-159で終わったが
”sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）”の細部の証明が、まだ示せないスレ主でした（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
性質
・Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。
(引用終り)
以上
172: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:36:04.17 ID:C0V9I9pS(3/10) AAS
>>171 タイポ訂正（流しと強調を兼ねて（＾＾ ）
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
↓
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)とQ(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
173(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:53:14.46 ID:C0V9I9pS(4/10) AAS
>>171
円分体は、やっといた方がいいみたい（＾＾；
http://ikagawashii-hitorigoto.blogspot.com/2017/
い加川しいhitorigoto 加川貴章
(抜粋)
20171212
ノイキルヒの本を読むゼミ。円分体での素数の分解がよくわかったところで、次は平方剰余の相互法則を円分体を用いて証明する、という話。うん、円分体に持ち込むと上下がひっくり返せる理由がよくわかる。で来週から局所化の話で、1次元スキームとか出てくるところ。ここは小生苦手にしているので、じっくり勉強させてもらいたい所
2017125
ノイキルヒのゼミから。円分体で素数がどう素イデアル分解されるかなど。わざわざ Z[ζ] が整数環だから、任意の素数の分解は円周等分多項式の分解でわかる、ということでその道筋で示していた。
そんなもん不分岐なのの分解だったらフロベニウス置換の性質を用いれば一発じゃないか、と思ったんだが、代数体でなく一般のデデキント整域で議論を進めているから、(分解群)/(惰性群)が巡回群であることが使えない。
だから円周等分多項式で見なくてはいけない。そうするとえらく難しい。でそこで予習切れ。うーん、ノイキルヒの本は難しいな
20171114
ノイキルヒのゼミ。で今は Q(ζn) の整数環が Z[ζn] であることの証明だったが、n が素数の冪の場合で沈没したらしく、「一般の場合は来週にします」とのことだった。
で40分くらいで終了。円分体の整数環の決定って、何でこんなに難しいんだろう？そもそも [Q(ζn)：Q]＝φ(n) であることも、一般の場合は実に難しい。ちゃんと証明読んでない人も多いんではないかと想像するが、いかがだろうか？
小生？ちゃんと読みましたよ、何種類か。でもその中で特に腑に落ちる証明があったわけではない。これからも学生に色々本を読ませながら、腑に落ちる証明探しの旅を続けよう。
2017117
ノイキルヒの本を読むゼミ。相変わらず進まない。まあヒルベルト理論は難しいし、仕方ないのだ。来週は円分体の話なんで、いくらか分かりやすくなるんじゃないだろうか。ちょっと期待
つづく
174(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:54:00.53 ID:C0V9I9pS(5/10) AAS
>>173
つづき
2017825
当たり前のように見えることが本当に当たり前か？という問に関して考え始める。計算を色々やってみて、出来た、と思ったらまだ出来ていない、でコンピューターで計算して計算ミスはないことなど確認と、この繰り返し。夕刻にやっとやっぱり当たり前の結果しか成り立たないことがわかった。途中円分体を考えたり、最大実部分体の正規底を考えたりと、結構大事だったが、良かった。すっきり
2017726
それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
(引用終り)
https://researchmap.jp/read0059180/
researchmap
(抜粋)
研究者氏名
加川 貴章
カガワ タカアキ
URL
http://www.ritsumei.ac.jp/se/%7Ekagawa/
所属
立命館大学
部署
理工学部数理科学科
職名
教授
学位
理学博士(早稲田大学)
その他の所属
立命館大学
学歴
- 1991年
早稲田大学 理工学部 数学
- 1997年
早稲田大学大学院 理工学研究科 数学
(引用終り)
184(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 21:00:04.37 ID:C0V9I9pS(6/10) AAS
>>174
＞それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
下記の”[10] L. C. Washington, Introduction to cyclotomic elds, 2-nd edition, GTM 87, Springer (1997).”だろうかね（＾＾
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/ss2014/
第22回 (2014年度) 整数論サマースクール 『非可換岩澤理論』 2014.8.28?2014.9.1
世話係
原 隆 (東京電機大学)
水澤 靖 (名古屋工業大学)
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/ss2014/abstracts.html
講演内容
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/ss2014/pdf/fujii.pdf
講演レジュメ
可換拡大の岩澤理論の代数的側面について 藤井 俊 (金沢工業大学)
本講演では、まず導入として岩澤理論の起源である Zp 拡大の一般論を解説し、後の講演で用いられる概念、用語の紹介を行う。
次いで、非可換岩澤理論で扱われる「分岐付岩澤加群」が、どのような文脈で岩澤理論に現れるのかについて解説をする。
本稿の構成は,
・2 章: Zp 拡大の一般論
・3 章: 円分Zp 拡大上のKummer 理論, イデアル類群と分岐付岩澤加群
となっている. 2 章はWashington の本[10] の13 章の内容の解説である. 3 章は, 岩澤先生
の論文[7] の前半部分の(簡易な) 解説である. 論文[7] では, Kummer 理論のすべての部分を
扱っているが, 本稿ではプラス部分に限定をして話を進める.
[10] L. C. Washington, Introduction to cyclotomic elds, 2-nd edition, GTM 87, Springer (1997).
On algebraic aspects of Iwasawa theory for abelian extensions
Satoshi Fujii (Kanazawa Institute of Technology)
In this lecture I will first explain general theory on Zp-extensions of algebraic number fields, which is the origin of Iwasawa theory. Then I introduce several concepts and terminologies concerning it which shall be used throughout this lecture series.
Under these preparations I would like to introduce the notion of the “Iwasawa module with ramification,” and explain how this notion appears in the classical Iwasawa theor
186(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 21:17:09.49 ID:C0V9I9pS(7/10) AAS
>>178
＞「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
下記にあるような、円分体のガロア対応をベースに
Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)のガロア群を作って
「矛盾」を示すのもありかね
牛刀ではあるけれども、大学数学とは、むしろ、”牛刀使い”が、賞讃されるような気がする
というか、Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)などは、あくまで学習のための具体例の一つであって
”牛刀の使い方と切れ味”を試すための学習例にすぎないのだと
（私は、まだまだそこへ行っていませんがね（＾＾； ）
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/17/104038
美的数学のすすめ
2015-04-17
円分体のガロア対応
(抜粋)
ガロア対応を円分体に応用すると、ガウス周期と、ガロア群の部分群との関係が分かります。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））
ガロアが誕生したのは1811年、1832年に決闘で亡くなるまでにガロアはガウスの円分体論を当然知っていました。ガロアは、このガウスの円分体論を強く意識して（「ガロワ理論下」デイヴィッド・A. コックス、338ページ）、ガロア理論の着想を得たと考えられています。
円分体論とはこれだけのことか？
ここまで見てきた対応は、ガロア理論の応用です。このガロア理論は、これだけでも十分に驚くべき内容です。ガロア理論は全ての体について成り立つものですが、上のようにきれいな形でガロア対応を記述できるものはそう多くありません。その意味で、上の結果だけでも十分です。
しかし、円分体論はガロア理論に吸収されてしまうのでしょうか？そうではありません。上のガロア対応にはガロア理論を超えたさらに驚くべき内容が隠されています。それを考えるには、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるのか考える必要があります。
次回は、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるか考えてみます。
(引用終り)
187(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 21:22:30.01 ID:C0V9I9pS(8/10) AAS
>>186
関連追加
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/08/090255
美的数学のすすめ
2015-04-08
円分体のガロア群
円分体 ガロア理論
(抜粋)
今回は、円分多項式の分解体であるQ(ζn)のガロア群GaL(Q(ζn)/Q)を考えます。
ガロア理論の初歩については下記をご覧ください。
円分多項式の性質
このようにGal(Q(ζn)/Q)がアーベル群（可換群）であることが分かりました。類体論の対称は、ガロア群がアーベル群となる体の拡大ですが、円分体はその典型例です。
円分体のガロア群が決定できましたので、次回、円分体の部分体をこのガロア群の部分群から決定してみます。
(引用終り)
188: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 21:29:31.98 ID:C0V9I9pS(9/10) AAS
>>187
関連追加
tsujimotterのノートブックは、
以前にも引用させてもらったと思う
これは、大学１〜２年は、ざっと読んでおくと良いと思うよ（＾＾
http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/class-field-theory-of-cyclotomic-field
tsujimotterのノートブック
2017-01-01
円分体の類体論の復習
以上の記事では，整数論にガロア理論を適用させ，素イデアルの分解法則を見出す「ヒルベルトの理論」の枠組みを紹介し，その系として円分体の分解法則を導きました。
上の記事から半年以上経っているので，円分体の類体論を復習しつつ，言い足りなかったことを少し補足したいと思います。
復習するテーマは大きく分けて以下の２つです。
・ガロア拡大における分解法則とフロベニウス
・円分体の素イデアル分解法則
この記事のすぐあとに，続きの記事を書きたいと思っています。今回の記事はそのための準備です。例によって，少々レベルが高い記事になりますが，よかったら合わせて読んでみてください。
復習１：ガロア拡大における分解法則とフロベニウス
補足１：フロベニウス自己同型とアーベル拡大
補足２：アルティン写像と相互法則
復習２：円分体の素イデアル分解法則
まとめ
今回は「円分体の分解法則」だけ紹介しましたが，この流れを踏まえることで「二次体の場合の分解法則」も得ることができます。実はその話がしたくてこの記事を書きました。
一般に，これらは「Q上の類体論」と呼ばれるものですが，これが円分体の分解法則の延長で得られるのです。この辺が円分体が雛形と言われる所以でしょう。
次の記事では，ぜひ円分体のパワーを味わってください！
189(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 23:39:27.57 ID:C0V9I9pS(10/10) AAS
>>186
>ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
>ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））
まあ、下記の「響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日」などをご参照
これ、ちょっと面白いよ（＾＾
http://hooktail.sub.jp/
物理のかぎしっぽ
http://hooktail.org/misc/index.php?%B4%F3%B9%C6
寄稿
数学
上野孝司氏による『君の為の数学原論』シリーズ †
http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire32160913tu.pdf
響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日
（ガロアのf 項周期について、図解するなど詳しくしました）
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群(上野孝司 著)
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群（第２版）(上野孝司 著)
恐るべし、数学技術―ガウス積分とバーゼル問題(上野孝司 著)
バーゼル問題一般化にベルヌーイの執念、cot の解析がカギ(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考（第２版）(上野孝司 著)
Ｎ次元超球の体積はヤコビアン、曲面積は平行四辺形(上野孝司 著)
加群構造定理が源流―アーベル基本定理とジョルダン標準形(上野孝司 著)
金融工学 ‐ オプション価格は熱方程式、ブラック・ショールズモデル(上野孝司 著)
解析か代数か - 物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式(上野孝司 著)
あっと驚く証明―ケイレイ−ハミルトンの定理、行列式の応用(上野孝司 著)
金融工学：ポートフォリオのリスク評価は共分散ー資産選択理論(上野孝司 著)
環論と存在性―複素数とはなんだろうか(上野孝司 著)
ローラン展開と留数解析―複素解析概論(上野孝司 著)
驚くべき中国式剰余定理(上野孝司 著)
多変数解析への誘い―デカルトの葉線と陰関数定理(上野孝司 著)（シリーズ完結）
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