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903: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 08:04:25.55 ID:mgIjpbDZ(1/21) AAS
>>893
もちろん差積が交代式であることは簡単に分かります。
904: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 08:10:59.67 ID:mgIjpbDZ(2/21) AAS
>>890
1 ≦ k < l < i, i < k < l, l ≠ j, j < k < l ≦ n
この場合分けが意味不明です。
k < l < i
k < i < l < j
k < i < j < l
i < k < l < j
i < k < j < l
j < k < l
と書いてあれば分かるのですが。
905: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 08:17:55.87 ID:mgIjpbDZ(3/21) AAS
>>890
あと、
x_σ(k) - x_σ(i) = x_k - x_j (k < i)
が抜けていませんか？
ちなみに、この本の著者は上野健爾さんです。
906: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 08:22:09.37 ID:mgIjpbDZ(4/21) AAS
>>890
1 ≦ k < l < i, i < k < l, l ≠ j, j < k < l ≦ n
の l ≠ j ってありですか？
だったら、
1 ≦ k < l ≦ n, k ≠ i, k ≠ j, l ≠ i, l ≠ j
と楽できますよね。
上野健爾さんは読者の読みやすさなど毫も気にしていませんよね。
907: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 08:47:17.09 ID:mgIjpbDZ(5/21) AAS
>>892
>>902
ありがとうございました。
やはり上野健爾さんの場合分けの書き方は分かりにくいですよね。
911: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 13:53:02.17 ID:mgIjpbDZ(6/21) AAS
カルダノの公式について質問です。
3次方程式の3解を α, β, γ とします。
α, β, γ を表わす3つの式があります。
実際に、 {α, β, γ} = {1番目の式で表される数, 2番目の式で表される数, 3番目の式で表される数}
になっていることは確認する必要があると思いますが、上野健爾さんの『代数入門』では確認していません。
まずいですよね？
912: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 13:55:07.49 ID:mgIjpbDZ(7/21) AAS
カルダノの公式について質問です。
3次方程式の3解を α, β, γ とします。
3次方程式の解を表わす3つの式があります。
その3つの式すべてが3次方程式の解であることは分かります。
さらに {α, β, γ} = {1番目の式で表される数, 2番目の式で表される数, 3番目の式で表される数}
になっていることを確認する必要があると思います
上野健爾さんの『代数入門』では確認していません。
まずいですよね？
915: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 14:38:39.31 ID:mgIjpbDZ(8/21) AAS
>>914
証明してください。
917: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:11:48.47 ID:mgIjpbDZ(9/21) AAS
松坂和夫著『代数への出発』では、
a^3 + b^3 + c^3 - 3*a*b*c = (a + b + c)*(a + b*ω + c*ω^2)*(a + b*ω^2 + c*ω)
という式を使って導いています。この導き方では、
{α, β, γ} = {1番目の式で表される数, 2番目の式で表される数, 3番目の式で表される数}
は自明です。
918: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:12:46.01 ID:mgIjpbDZ(10/21) AAS
上野健爾さんの議論の仕方では、
{α, β, γ} = {1番目の式で表される数, 2番目の式で表される数, 3番目の式で表される数}
は自明ではありません。
919: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:17:20.16 ID:mgIjpbDZ(11/21) AAS
短時間ですが、上野健爾さんの「不親切ワールド」に慣れてから松坂和夫さんの「親切ワールド」に行くと
松坂和夫さんの説明が如何に正確で懇切丁寧かが分かりますね。
921: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:19:45.02 ID:mgIjpbDZ(12/21) AAS
上野健爾さんの『代数入門』を持っている人はカルダノの公式のところを見てみてください。
上野健爾さんの議論の仕方では、
{α, β, γ} = {1番目の式で表される数, 2番目の式で表される数, 3番目の式で表される数}
は自明ではありません。
923: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:42:39.44 ID:mgIjpbDZ(13/21) AAS
上野健爾さんの議論は以下のような感じです：
x^3 - p*x - q = 0
を解きたい。
(u + v)^3 - p*(u + v) - q = 0 … (A)
を満たす、 u, v を見つければよい。
展開して、
u^3 + v^3 + (3*u*v - p)*(u + v) - q = 0
u^3 + v^3 = q
3*u*v = p
となるような u, v は (A) を満たすからそのような u, v を見つければよい。
924: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:42:59.36 ID:mgIjpbDZ(14/21) AAS
u^3 + v^3 = q
3*u*v = p
⇒
(u^3 - v^3)^2 = (u^3 + v^3)^2 - 4*u^3*v^3 = q^2 - (4/27)*p^3
⇔
u^3 - v^3 = ±sqrt(q^2 - (4/27)*p^3)
u^3 = (1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3)
v^3 = (1/2)*(q - sqrt(q^2 - (4/27)*p^3)
or
u^3 = (1/2)*(q - sqrt(q^2 - (4/27)*p^3)
v^3 = (1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3)
u, v の対称性から、
u^3 = (1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3)
と仮定しても一般性を失わない。
925: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:43:32.16 ID:mgIjpbDZ(15/21) AAS
u = ((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(1/3)
or
u = ω*((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(1/3)
or
u = ω^2*((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(1/3)
u*v = p/3
が成り立つように帳尻を合わせると、
u = ((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(1/3)
に対しては、
v = (p/3)*((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(-1/3)
となる。
u = ω*((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(1/3)
に対しては、
v = ω^2*(p/3)*((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(-1/3)
となる。
u = ω^2*((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(1/3)
に対しては、
v = ω*(p/3)*((1/2)*(q + sqrt(q^2 - (4/27)*p^3))^(-1/3)
となる。 ◎
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
926: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 15:43:48.16 ID:mgIjpbDZ(16/21) AAS
D = 4*p^3 - 27*q^2
とおくと、
x^3 - p*x - q = 0
の解は、
((1/2)*(q + sqrt(-D/27)))^(1/3) + (p/3)*((1/2)*(q + sqrt(-D/27)))^(-1/3),
ω*((1/2)*(q + sqrt(-D/27)))^(1/3) + ω^2*(p/3)*((1/2)*(q + sqrt(-D/27)))^(-1/3),
ω^2*((1/2)*(q + sqrt(-D/27)))^(1/3) + ω*(p/3)*((1/2)*(q + sqrt(-D/27)))^(-1/3)
である。
928: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 16:05:53.46 ID:mgIjpbDZ(17/21) AAS
ついでに、松坂和夫さんの解法も書きます。
x^3 + 3*p*x + q = 0 … (B)
と解きたい。
A^3 + B^3 = -q
A*B = -p
を満たす A, B を見つけたとする。
(B)は、
x^3 + (-A)^3 + (-B)^3 - 3*x*(-A)*(-B) = 0 … (C)
と書ける。
公式 a^3 + b^3 + c^3 - 3*a*b*c = (a + b + c)*(a + b*ω + c*ω^2)*(a + b*ω^2 + c*ω)
に a = X, b = -A, c = -B として代入すると以下の等式が得られる。
x^3 + (-A)^3 + (-B)^3 - 3*x*(-A)*(-B) = (x - A - B)*(X - A*ω - B*ω^2)*(X - A*ω^2 - B*ω)
(C)は、
(x - A - B)*(X - A*ω - B*ω^2)*(X - A*ω^2 - B*ω) = 0
と書ける。
よって、(B)の解の集合は、
{A + B, A*ω + B*ω^2, A*ω^2 + B*ω}
である。
929: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 16:06:09.31 ID:mgIjpbDZ(18/21) AAS
A^3 + B^3 = -q
A*B = -p
を満たす A, B を求めたい。
A^3 + B^3 = -q
A*B = -p
⇒
A^3 + B^3 = -q
A^3*B^3 = -p^3
だから、
A^3, B^3 は、
t^2 + q*t - p^3 = 0
の解である。
A^3 = (-q + sqrt(q^2 + 4*p^3))/2
B^3 = (-q - sqrt(q^2 + 4*p^3))/2
は、
A^3 + B^3 = -q
A^3*B^3 = -p^3
を満たす。
A = ((-q + sqrt(q^2 + 4*p^3))/2)^(1/3)
B = ((-q - sqrt(q^2 + 4*p^3))/2)^(1/3)
A*B = -p
が成り立つように、帳尻を合わせれば、
A^3 + B^3 = -q
A*B = -p
の解 A, B が得られる。 ◎
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
937: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 20:51:16.53 ID:mgIjpbDZ(19/21) AAS
上野健爾著『代数入門』を読んでいます。
「C の部分体 K に対して、 C の元 α1, α2, …, αm が与えられたとき、 K と α1, α2, …, αm を含む C の
最小の部分体を K(α1, α2, …, αm) と記し、体 K に α1, α2, …, αm を添加してできた体という。」
その後で、
「K(α1, α2, …, αm) = {g(α1, α2, …, αm)/f(α1, α2, …, αm) | f, g ∈ K[x1, x2, …, xm], f(α1, α2, …, αm) ≠ 0}」
が成り立つ
と書かれています。
これって順序がおかしくないですか？
K と α1, α2, …, αm を含む C の部分体の中に最小のものが存在するかどうか？
というのがまず問題になりますよね。
で、すぐに、最小の体は存在することが分かります。
それは、
{g(α1, α2, …, αm)/f(α1, α2, …, αm) | f, g ∈ K[x1, x2, …, xm], f(α1, α2, …, αm) ≠ 0}
です。
この最小の体を K(α1, α2, …, αm) と記し、体 K に α1, α2, …, αm を添加してできた体という。
という流れが正しい流れだと思います。
938: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 20:57:10.78 ID:mgIjpbDZ(20/21) AAS
あるいは、
「C の部分体 K に対して、 C の元 α1, α2, …, αm が与えられたとき、 K と α1, α2, …, αm を含む C の
部分体の共通部分は体になる。これは K と α1, α2, …, αm を含む C の最小の体であり K(α1, α2, …, αm)
と記し、体 K に α1, α2, …, αm を添加してできた体という。」
と書くべきですよね。
939: １３２人目の素数さん [] 2018/12/26(水) 20:59:45.08 ID:mgIjpbDZ(21/21) AAS
上野健爾さんの本はみんなこんな風にスムースに読んでいくことができません。
すぐに引っかかるところが出てきます。
ある意味訓練になりますね。
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