[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね449 (1002ﾚｽ)
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965(1): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/29(土) 09:13:22.59 ID:8sFrBz1Z(1) AAS
① 解答の書き方の問題にすぎない。数学ではなく国語の問題。
解答の一番最初でいきなり f：(－1,1)→R を
f(x)＝log(x＋1)－(x－1)log(1－x) と定義してしまえば、
f(0)が自明に定義されているのでf(0)が使える。また、fの増減を調べて
「0＜x＜1においてf(x)＞0」
を示せば、これを変形することで0＜x＜1の場合における元々の式が得られる。
つまり、定義域が広いところから出発して狭いところに限定していくような順番で
解答を書けば何の問題も起きないということ。
② 厳密には証明が必要。
一般に、F：(0,1)→R が狭義単調増加かつ lim[t↓0]F(t)＝0 ならば、
0＜x＜1のとき F(x)＞0 である。
なぜなら、0＜x＜1を任意に取るとき、0＜t＜x/2 の範囲で
F(t)＜F(x/2) なので、この式で lim[t↓0] を取れば 0≦F(x/2) であり、
また F(x/2)＜F(x) であるから、0＜F(x) となる。0＜x＜1は任意だったから、
0＜x＜1のとき F(x)＞0 である。
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