現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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269: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/08(月) 16:48:13.57 ID:KgoytC9i

>>268 つづき

だから、定理1.7は、二つに分けて
１．R−Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合
２．R−Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合
とすべき

１．の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は自明。ほとんど、証明の必要もない
２．の場合、「非可算無限の集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなｆは存在しえない」のような方向を目指すべき

２．の場合をさらに細分化する（>>194を一部修正）
R−Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する
　ａ）R−Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる）
　ｂ）R−Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
　ｃ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
　ｄ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
（注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝ +∞を満たすこと）

系1.8は、定理1.7中の上記ａ）の場合。ｂ）は下記。よって、ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない
＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている

繰返すが、ｃ）ｄ）の２ケースで、有理数Qを想定して、R−Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースｃ）ｄ）のような関数f : R → Rが存在するか否か
　そこが、まだ不明。

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/269

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