現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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287: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 17:55:34.91 ID:bELCiM4Y

(>>286の続き)
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで微分可能なことから
cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M＝δ'(A) とおくと、|c−x|＜M のとき |f(c)−f(x)|＜A となる。
|c−x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)−f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c−x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c−x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)−f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
?@)：|c−x_{i,n}|＜M、|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
?A)：|c−x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)−f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c−x_{i,1}|＜M、|f(c)−f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c−x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/287

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