現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

220: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/18(月) 08:00:38.68 ID:nRvm/kYL

>>206
自己解決しました

１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
２．さて、結論から言えば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
３．それを説明するために、まず階段函数を考える
　　x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
　　一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続
４．次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
　　（これは、いま問題にしている変形トマエ関数の不連続点の簡単なモデルでもある）
　　階段函数同様、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
　　しかし、上記３と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
　　（この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる）
　　この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
５．このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88 カントール集合
　　（カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/220

283: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:57:56.68 ID:eFT4s0P8

[ 解説３, R−B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } が成り立つ理由 ]

２つの定義それぞれに対して、R−B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } が成り立つことを
以下で解説する。まず、１つ目の定義で limsup を定義した場合の

B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }

について見ていく。１つ目の定義では、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜は拡大実数 X の中の元であるから、
拡大実数の性質により、自動的に

R−B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }

が成り立つ。これで終わりｗｗ
あるいは、１つ目の定義において、「 α＜＋∞ 」は「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
という意味にもなることが拡大実数の性質により導かれるのだった。よって、

B_f＝{ x∈R｜ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜C が成り立つ } … (1)

とも表せることになるので、この表現を使うと

R−B_f＝{ x∈R｜任意の実数 C＞0 に対して limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜≧C が成り立つ }  … (2)

と表せることになる。ここで、「任意の実数 C＞0 に対して α≧C が成り立つ」という性質を満たす α∈X は
α＝＋∞ しかないことが拡大実数の性質により導かれるので、自動的に

R−B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }  … (3)

が導かれる。よって、１つ目の定義では、いずれにしても (3) が成り立つ。
２つ目の定義では、そもそも (1) の意味として出発することになる。この場合、
「ツギハギの定義」と見比べることで、やはり (3) が導出される(詳細は省略)。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/283

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.042s