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「数学」をプログラミングするには (1002ﾚｽ)
「数学」をプログラミングするには http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/
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381: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 05:56:42.90 ID:Rqxu+zgK >>340 P(x) = x^2 f_1(x) = 0 [∀x∈R, P(x) ≥ 0]∧[P(x) ≠ (f_1(x))^2] ？ http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/381
385: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 06:41:39.48 ID:Rqxu+zgK >>383と>>340が数学の主張として異なるということが理解できないということ？ http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/385
386: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 06:42:33.01 ID:Rqxu+zgK それとも、問題に不備があったことを素直に謝罪できない性格だということ？ http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/386
388: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 06:55:34.85 ID:Rqxu+zgK 奇数次ならかならず符号が逆転するので偶数次 x → x + aと変換して、奇数次の項消してけばいいよ http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/388
389: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 07:06:37.75 ID:Rqxu+zgK 平方完成で a(f(x))^2n + b(g(x))^2(n-1) + ... + c(h(x))^2 + d の形にはできる a, b, ..., c, dが正の数になることがわかればいい http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/389
391: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 07:24:42.19 ID:Rqxu+zgK ∀x, P(x) ≥ 0なので、最高次の係数はかならず正 a(x + A)^2n + bx^2(n-1) + ... の形にできる b ≥ 0ならOK b < 0ならどうする？ http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/391
393: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 07:41:11.30 ID:Rqxu+zgK ∀x, (x^2 + a)^2 - x^2 ≥ 0 となるようaをとってみる x^4 + (2a - 1)x^2 + a^2 = (x^2 + a - 1/2)^2 + a^2 - (4a^2 - 4a + 1)/4 a ≥ 1/4ならOKなのでa = 1/4とする x^4 - 1/2 x^2 + 1/16 = (x^2 - 1/4)^2 4次の場合は (x^2 + A)^2 + (X + B)^2 + C^2 の形にできそう 6次は？ http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/393
395: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:38:41.15 ID:Rqxu+zgK P(x)は実数係数多項式で、∀x∈R, P(x) ≥ 0が成り立つとする。 P(x)の次数は偶数。 ∵ 奇数なら、x → ±∞ どちらかの極限が-∞になるから。 deg(P(x)) = 2dとする d = 0のとき、P(x)は非負の定数Cなので、P(x) = √C^2と書ける。 2(d-1)以下の偶数次のR係数多項式では、 ∀x∈R, Q(x) ≥ 0 ⇒ Q = f_1^2 + ... + f_n^2と書ける が成立すると仮定する {P(x)|x∈R}は下に有界 十分大きなr > 0を取れば、|x| > rでのP(x)の値は、[-r, r]でのP(x)の値よりも大きくできる。 よって、P(x)は最小値m > 0を持つ。 P(x) = mとなるxをx_0 F(x) = P(x) - mとおく F(x)はF(x_0) = 0で、x = x_0で極小値をとるから、あるQ(x)が存在して F(x) = (x - x_0)^2 Q(x) となる。 Q(x) = F(x)/(x - x_0)^2は、次数2(d-1)以下でつねに非負だから、仮定より Q(x) = f_1(x)^2 + ... + f_n(x)^2 と書ける。 よって、 P(x) = (f_1(x)(x - x_0))^2 + ... + (f_n(x)(x - x_0)^2 + √m^2 と書ける。 http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/395
396: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:39:47.33 ID:Rqxu+zgK 多変数では同様のことは成り立つのかな？ http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/396
397: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:48:45.47 ID:Rqxu+zgK 二次式の場合は成り立つ x∈R^n Q(x) = txSx tは転置 とすれば、Sは実対称行列になるから、適当な基底変換Tで Q(Tx) = a_1(x_1)^2 + ... + a_n(x_n)^2 となるつねに非負なのは、∀i, a_i ≥ 0となるとき。 http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1710585705/397
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