[過去ﾛｸﾞ] 「数学」をプログラミングするには (1002ﾚｽ)
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381(2): デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 05:56:42.90 ID:Rqxu+zgK(1/10) AAS
>>340
P(x) = x^2
f_1(x) = 0
[∀x∈R, P(x) ≥ 0]∧[P(x) ≠ (f_1(x))^2]
？
385: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 06:41:39.48 ID:Rqxu+zgK(2/10) AAS
>>383383(1): デフォルトの名無しさん [sage] 2024/04/17(水) 06:25:43.54 ID:ivCgW6Mo(2/3) AAS
前提
Pは任意の実係数多項式で∀x∈R, P(x) ≥ 0を満たすもの
示すべき事
この時、ある自然数nと実係数多項式f_k(x)、k=1..nが存在して
>>340の等式を満たすことが出来る
と>>340が数学の主張として異なるということが理解できないということ？
386: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 06:42:33.01 ID:Rqxu+zgK(3/10) AAS
それとも、問題に不備があったことを素直に謝罪できない性格だということ？
388(1): デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 06:55:34.85 ID:Rqxu+zgK(4/10) AAS
奇数次ならかならず符号が逆転するので偶数次
x → x + aと変換して、奇数次の項消してけばいいよ
389(1): デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 07:06:37.75 ID:Rqxu+zgK(5/10) AAS
平方完成で
a(f(x))^2n + b(g(x))^2(n-1) + ... + c(h(x))^2 + d
の形にはできる
a, b, ..., c, dが正の数になることがわかればいい
391: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 07:24:42.19 ID:Rqxu+zgK(6/10) AAS
∀x, P(x) ≥ 0なので、最高次の係数はかならず正
a(x + A)^2n + bx^2(n-1) + ...
の形にできる
b ≥ 0ならOK
b < 0ならどうする？
393: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 07:41:11.30 ID:Rqxu+zgK(7/10) AAS
∀x, (x^2 + a)^2 - x^2 ≥ 0 となるようaをとってみる
x^4 + (2a - 1)x^2 + a^2
= (x^2 + a - 1/2)^2 + a^2 - (4a^2 - 4a + 1)/4
a ≥ 1/4ならOKなのでa = 1/4とする
x^4 - 1/2 x^2 + 1/16
= (x^2 - 1/4)^2
4次の場合は
(x^2 + A)^2 + (X + B)^2 + C^2
の形にできそう
6次は？
395(1): デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:38:41.15 ID:Rqxu+zgK(8/10) AAS
P(x)は実数係数多項式で、∀x∈R, P(x) ≥ 0が成り立つとする。
P(x)の次数は偶数。
∵ 奇数なら、x → ±∞ どちらかの極限が-∞になるから。
deg(P(x)) = 2dとする
d = 0のとき、P(x)は非負の定数Cなので、P(x) = √C^2と書ける。
2(d-1)以下の偶数次のR係数多項式では、
∀x∈R, Q(x) ≥ 0 ⇒ Q = f_1^2 + ... + f_n^2と書ける
が成立すると仮定する
{P(x)|x∈R}は下に有界
十分大きなr > 0を取れば、|x| > rでのP(x)の値は、[-r, r]でのP(x)の値よりも大きくできる。
よって、P(x)は最小値m > 0を持つ。
P(x) = mとなるxをx_0
F(x) = P(x) - mとおく
F(x)はF(x_0) = 0で、x = x_0で極小値をとるから、あるQ(x)が存在して
F(x) = (x - x_0)^2 Q(x)
となる。
Q(x) = F(x)/(x - x_0)^2は、次数2(d-1)以下でつねに非負だから、仮定より
Q(x) = f_1(x)^2 + ... + f_n(x)^2
と書ける。
よって、
P(x) = (f_1(x)(x - x_0))^2 + ... + (f_n(x)(x - x_0)^2 + √m^2
と書ける。
396(1): デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:39:47.33 ID:Rqxu+zgK(9/10) AAS
多変数では同様のことは成り立つのかな？
397: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:48:45.47 ID:Rqxu+zgK(10/10) AAS
二次式の場合は成り立つ
x∈R^n
Q(x) = txSx tは転置
とすれば、Sは実対称行列になるから、適当な基底変換Tで
Q(Tx) = a_1(x_1)^2 + ... + a_n(x_n)^2
となるつねに非負なのは、∀i, a_i ≥ 0となるとき。
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