純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (217ﾚｽ)
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20(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/21(月)14:24 ID:60RWf/A5(3/9) AAS
つづき
formulation
There are a lot A, which is the empty set ∅ and with each element
x∈A also the amount x∪{x}contains.
∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))
The infinity axiom does not merely postulate, as the name might suggest, the existence of any infinite set. It postulates the existence of an inductive set and thus, consequently, the existence of the set of natural numbers according to John von Neumann's model .
Significance for mathematics
Natural numbers
By the existence of at least one inductive set
I together with the exclusion axiom, the existence of natural numbers as a set is also ensured:
N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)}
The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.
Infinite quantities
Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. The infinity axiom, together with the power set axiom , ensures that there are also uncountable sets, such as the real numbers.
下記 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理）も
外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
（google翻訳 仏→英）
Axiom of infinity
Statement of the axiom
略
・let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
略
(引用終り)
以上
21(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/21(月)14:26 ID:60RWf/A5(4/9) AAS
>>20
＜まとめ＞
１）fr.wikipedia にあるように、Axiom of infinity（無限公理）→ 集合 Natural numbers "ω(=N)" の存在を 示すこと
このために ”by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality”などと、ZFCで使える公理は制限があるのです
２）さて、下記にZFCで『5. 和集合の公理』がある
"この式は、∪F の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合 ∪F を A から構築することができる"
とある。見れば、たかが和集合∪で 面倒なことをしているのです
３）で、和集合∪でこれなのですが、では積集合∩について ZFC公理系でどうか？
中途半端に 積記号∩ を使うと、そこからメンドクサイことになるのでは？ｗ ；ｐ）
だから、基礎論屋さんは 積記号∩を使わないと思うがどうよｗ
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ツェルメロ＝フレンケル集合論
選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される
5. 和集合の公理
→詳細は「和集合の公理」を参照
集合の元に対する和集合が存在する。たとえば、集合
{{1,2},{2,3}}の元に対する和集合は{1,2,3}である。
和集合の公理は、任意の集合の集合
F について、 F の元の元であるすべての元を含む集合
A が存在することを主張する：
∀F∃A∀Y∀x[(x∈Y∧Y∈F)⇒x∈A]
.この式は、∪F の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合
∪F を A から構築することができる：
∪F={x∈A:∃Y(x∈Y∧Y∈F)}.
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