純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (217ﾚｽ)
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134(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/26(土)21:52 ID:w9PY0JQs(11/16) AAS
>>133 補足
順序数を考えたのは カントールで
カントールは、上記のように 順序型 (order type) をベースに
順序数の理論を構築したのです
ところが、ラッセルのパラドックスとかが出て
集合概念を抑制的にして パラドックスを割け
公理的に組み立てられるものだけを
集合としようという 公理的集合論が出た
公理的集合論では、素朴集合論で 扱われていた 大きすぎる対象（つまり 集合公理からはみ出す対象）
は、クラスとして 扱うことになったのです
（つまり、素朴集合論で扱っていた大きすぎる集合は、公理的集合論ではクラスと呼ばれる）
渕野先生の本では、紙数の制限で カントールによる順序数をベースに ここを軽く流すために
『順序数はクラス』としたのでしょうね ；ｐ）
135: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/26(土)21:54 ID:w9PY0JQs(12/16) AAS
>>134 タイポ訂正
集合概念を抑制的にして パラドックスを割け
↓
集合概念を抑制的にして パラドックスを避け
分ると思うが （＾＾
139: 07/26(土)22:38 ID:gZ1LykHx(17/22) AAS
>>134
>渕野先生の本では、紙数の制限で カントールによる順序数をベースに ここを軽く流すために
>『順序数はクラス』としたのでしょうね ；ｐ）
何十行も長々と書いて出した答えはまったくトンチンカン
君、ぜんぜん分かってないんだね
140: 07/26(土)23:19 ID:gZ1LykHx(18/22) AAS
>>134
>集合概念を抑制的にして
抑制の具体的内容は？ 特に抑制されるものとされないものの境界は何？
>公理的集合論では、素朴集合論で 扱われていた 大きすぎる対象（つまり 集合公理からはみ出す対象）
>は、クラスとして 扱うことになったのです
>（つまり、素朴集合論で扱っていた大きすぎる集合は、公理的集合論ではクラスと呼ばれる）
はい、大間違いです。
クラスとは何らかの数学的対象の集まりです。集合は要素の集まりだから当然クラスです。集合ではない（＝その存在がZF上で証明できない）クラスは真のクラスと呼ばれます。
141(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/26(土)23:24 ID:w9PY0JQs(13/16) AAS
>>134 追加
下記 渕野 昌
”ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生”
「数理科学」2022年6月号拡張版 が、面白く また 参考になるだろう
外部ﾘﾝｸ[html]:fuchino.ddo.jp
渕野昌
[22.07.14]『数理科学』2022年6月号特集に掲載された論説 「ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生」のpdfファイルをupdateしました．出版社との約束で，本文が白紙になったものをしばらく置いてあったのですが，ほとぼりがさめたので，可読なヴァージョンで置き換えてあります
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fuchino.ddo.jp
特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的) 近未来の視点からの考察
本稿は「数理科学」2022年6月号特集に寄稿した論考の2024年12月17日の時点での拡張版
本稿の最新版は，外部ﾘﾝｸ[html]:fuchino.ddo.jp から download できます．この拡張版には，寄稿記事では，ページ数の制限のために割愛した引用文の原文が含まれています．また，最新版には，寄稿後の修正/拡張も，含まれてい (る可能性があり) ます
目次
1. 今，なぜ，ハウスドルフなのか . . . . . 1
略
P8
ハウスドルフは，フォン・ノイマ
ンの 1920 年代の順序数の基礎付けの研究に気がつい
ていなかったようである．その結果として，順序型の
同値クラス (これは真のクラスになってしまう) のカ
ノニカルな代表元を順序数や基数と定義する，とい
うフォン・ノイマンの発見したトリックを
[Hausdorff 192716)] で採用できず，関連する箇所の記述がもたつい
たものになっている ∗18）．しかも，現代の集合論に翻
訳して考えると，ここでは，同値類が真のクラスにな
るような同値関係での同値類の代表元をとる，という，
もうひとひねり加えないとうまく実現できない ∗19）こ
とを，あたかも実行できているかのように扱って議論
しているので，基礎付けが完全でないものになってしまっている．
Ｐ11
以上，スッペスの [Suppes 195731)] を除くと，どの
教科書も，論理体系への言及は全くなく，順序数や
基数については，[Suppes 196032)] を除くと，どれも，
それを読んだだけでは，整合的な導入ができるのか
どうかは，不明な書き方になっている ∗23）．筆者は，
2007年に行なった学部学生向けの講演で，順序数と
超限帰納法に関連する話題に触れたときに，同席さ
れていた上野健爾先生から，「それはきちんと定式化
できるものなのですか」と質問されて面喰った記憶
がある．しかし，彼が，ここで挙げたような教科書
で「集合論」を習っていたのだとすると，そのよう
な感想が出てきたとしても，何の不思議もないと言
えるかもしれない．順序数や基数については，[彌永
200218)] の 38 ページに「濃度や順序数の一般論はそ
の後それほど利用されることもなく，進展もなかった」
と書かれるなど，(日本では?) 今だに，無理解と継子
扱いに曝されているようである．
参考文献
18) 彌永昌吉: ガロアの時代ガロアの数学，第二部 数学篇，
シュプリンガー・フェアラーク東京 (2002)
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