純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (217ﾚｽ)
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38(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/22(火)10:31 ID:wkDrXwO+(1/4) AAS
>>37
>聞いてるのは、１．なぜ積集合はそれができるのか、２．なぜ和集合はそれができないのか
多分、どちらか一方を公理にすれば、他方は それから導かれるだろう
しかし、和集合を公理にする方が、きっと公理系としては 美しいのだろう
いま、公理系から離れて 素朴集合論で話をしよう
素朴な 集合演算を定義する
二つの空でない集合 A,B で、和集合(英union) U：=A∪B として
積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B とする
UからBを除いた部分は As：=UーB
（Asは、和集合からBを除いたAの部分集合で As⊂A）
同様に、 Bs：=UーA
これから、簡単な演算で直ちに
U−(As+Bs)＝I
が導かれる
つまり、和集合Iから 簡単な演算で 積集合Iは出る
これを、正式に集合の公理系で やればいいだけ（面倒だから やらないが ；ｐ）
さて、空でない集合 A,B に対し 和集合Uは 常に空集合ではないが
しかし、積集合Iは、空集合の場合がある
だから、和集合を公理にする方が
公理系としては 美しいと思うよ
39: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/22(火)10:33 ID:wkDrXwO+(2/4) AAS
>>38 タイポ訂正
つまり、和集合Iから 簡単な演算で 積集合Iは出る
↓
つまり、和集合Uから 簡単な演算で 積集合Iは出る
分かると思うが
42(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/22(火)12:11 ID:wkDrXwO+(3/4) AAS
>>40-41
上記>>38の記号で
U−(As+Bs)＝I ・・(1)
を導いたよね
ここに
和集合(英union) U：=A∪B
積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B
だね
(1)式から直ちに（移項して）
U＝I+(As+Bs) ・・(2)
が出る
なお （>>38と同様に）
As：=A−I
Bs：=B−I
(積集合A∩B＝Iが与えられている前提だから、これは可能）■
48(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/22(火)16:17 ID:wkDrXwO+(4/4) AAS
>>43-47
ふっふ、ほっほ
さすが、数学科入学１年の１日目の講義で
目を白黒させて 詰んだ男だ
君に欠落しているのは、囲碁でいうところの大局観だよ
１）そもそも 公理的集合論は 素朴集合論があって
それを公理化しようとするものだ
（あたかも、古代ギリシャで ユークリッドが 平面幾何を 公理として整理して いろんな定理を証明した如くだ）
２）さて、集合とはなにか？
簡単にいえば、複数の要素を集めたものだね
そして 集合A ={a1,a2,a3}、集合B ={b1,b2,b3}
この二つの集合で 重なりがないとき
A+B ＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3}
これが 出来ないと 話が始まらない
（だから これはこれで 公理を設けるとして）
３）問題は AとB に重なりがある場合だ
集合A ={a1,a2,a3,c1,c2,c3,・・・}
集合B ={b1,b2,b3,c1,c2,c3,・・・}
このとき
U＝A∪B＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,・・・}
I＝A∩B＝{c1,c2,c3,・・・}
だよね。具体例としてはね
これを、抽象的な公理として どう処理するのか？ だね
そういう問題 だよね
さて 繰り返しいうが
・そもそも集合とは 複数の要素を集めたもの
・二つの集合で 重なりがないときに、二つの集合の要素を集めて 一つの集合を作ることは当然可（これができなければ 話は始まらない）
・問題は、二つの集合で 重なりがあるときに、抽象的な公理として どう処理するのか？ そういう問題でだね
・そこで、ZFC公理系においては、和集合の公理をおいたってことだね
追伸
>>42 U＝I+(As+Bs) ・・(2) の式において
I,As,Bsの３つ どれも重なりを持たない
だから、この場合は 単純に 要素を列挙すれば良いだけ
これを
公理系として どう実現するかを考えれば良い
まず、そこの文献を調べてみな オチコボレさんｗ ；ｐ）
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