数学の原理を発見した (20ﾚｽ)
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6: 06/09(月)17:27:52.68 ID:qBe5NCNE(2/2) AAS
Theorem:
Rがネーター環⇒R[X]はネーター環

証明:
I⊂R[X]をイデアルとする。IがR[X]上有限生成であることを示す。
J⊂Rを、Iの多項式の最高次の係数になる元全体とする。JはRのイデアルになる。
Rはネーター環なので、Jはa1, ..., an∈Rで生成される。各i = 1, 2, ..., nに対して、aiを最高次の係数に持つIの元が存在するので、それをfi∈Iとおく。また、d = max{deg(fi)}とする。
f = bX^m + (低次の項)∈Iを任意の多項式とする。もし、m > dなら、b = Σri ai (ri∈R)の形だから、f - Σrifi X^(m-d)の次数はdより小さくなり、しかもIに入る。
つまり、R加群として

I = (R + RX + ... + RX^(d-1))∩I + ΣR[X] fi 。

(R + RX + ... + RX^(d-1))はネーター環R上有限生成なので、Lemma1よりネーター加群。よって、そのR部分化群(R + RX + ... + RX^(d-1))∩IもR上有限生成。その生成元とf1, ..., fnを合わせると、IのR[X]上の生成元になる。□

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17: 06/09(月)23:33:40.68 ID:kXRlqM7x(3/3) AAS
馬鹿

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