数学の原理を発見した (20ﾚｽ)
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6: 06/09(月)17:27 ID:qBe5NCNE(2/2) AA×


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6: [] 2025/06/09(月) 17:27:52.68 ID:qBe5NCNE Theorem: Rがネーター環⇒R[X]はネーター環 証明: I⊂R[X]をイデアルとする。IがR[X]上有限生成であることを示す。 J⊂Rを、Iの多項式の最高次の係数になる元全体とする。JはRのイデアルになる。 Rはネーター環なので、Jはa1, ..., an∈Rで生成される。各i = 1, 2, ..., nに対して、aiを最高次の係数に持つIの元が存在するので、それをfi∈Iとおく。また、d = max{deg(fi)}とする。 f = bX^m + (低次の項)∈Iを任意の多項式とする。もし、m > dなら、b = Σri ai (ri∈R)の形だから、f - Σrifi X^(m-d)の次数はdより小さくなり、しかもIに入る。 つまり、R加群として I = (R + RX + ... + RX^(d-1))∩I + ΣR[X] fi 。 (R + RX + ... + RX^(d-1))はネーター環R上有限生成なので、Lemma1よりネーター加群。よって、そのR部分化群(R + RX + ... + RX^(d-1))∩IもR上有限生成。その生成元とf1, ..., fnを合わせると、IのR[X]上の生成元になる。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/6
がネーター環はネーター環 証明 をイデアルとするが上有限生成であることを示す をの多項式の最高次の係数になる元全体とするはのイデアルになる はネーター環なのでは で生成される各 に対してを最高次の係数に持つの元が存在するのでそれをとおくまた とする 低次の項を任意の多項式とするもし なら の形だから の次数はより小さくなりしかもに入る つまり加群として はネーター環上有限生成なのでよりネーター加群よってその部分化群 も上有限生成その生成元と を合わせるとの上の生成元になる

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