数学の原理を発見した (20ﾚｽ)
数学の原理を発見した http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 16:03:02.27 ID:1rvvZppX 以下、nは自然数の値を取るとする。 (1) P: ∀n, p(n)は、Pが正しいなら、n=1, 2, ...の場合を試しても永久に証明できない (2) P: ∃n, p(n)は、Pが正しいなら、有限回で証明が終わる 数学の証明で非自明なものは、大別すればこの2パターンしかない。 (1)を証明するには、無限回の証明を有限回で行う道具が必要になる。たとえば、数学的帰納法など。 (2)を証明するには、問題から一部の情報を取り出す必要がある。たとえば、剰余をとるなど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/1
2: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 16:20:52.19 ID:eNAFN9sl (1) たとえば、1 + 2 + ... + n = n (n + 1)/2 を証明したいとする。 n = 1, 2, ... の場合をすべて確かめても証明できないが、数学的帰納法を使うと、有限のステップで無限個のケースを証明できる。 極限に関する定理や、コンパクト性などの有限性に帰着させるもの、普遍性を用いるものなどはこのパターン。 (2) たとえば、a^2 - 3b^2 = 2を満たす整数の組(a, b)が存在しないことを示したいとする。 これも、(a, b)の組を全部試すわけにはいかない。しかし、両辺を3で割ったあまりを考えれば解ける。 このほか、二つの対象が同型でないことを示すのに不変量を比較したり、別の対象への射を考えてみるなども、このパターン。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/2
3: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 16:25:58.71 ID:BG1OKxio 数学の証明で「気付き」や「テクニック」が必要なのは、この2パターンしかない。 あとの部分は、定義や仮定を自明に変形しているだけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/3
4: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/09(月) 16:32:09.82 ID:kXRlqM7x ど素人か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/4
5: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:24:04.22 ID:qBe5NCNE ためしに、ヒルベルトの基底定理を見てみる。 以下の補題を使う。 Lemma1: ネーター環R上の有限生成加群はネーター加群 これの証明には以下の補題を使う。 Lemma2: R加群の列 0 → M' → M → M'' → 0 が完全とすると、Mがネーター加群⇔M', M''がネーター加群。 これは簡単に示せる。 Lemma1の証明: M = Σ_{i=1}^n R mi とする。nに関する機能法で示す。 n = 1のときは、M ～ R/ann(m1)なのでネーター。 n-1まで正しいと仮定する。 N = Σ_{i=1}^{n-1} R miとおくと、完全列 0 → N → M → M/N → 0 を得る。Nと、M/N ～ Rmn/N∩Rmnは仮定よりネーターなので、Lemma1よりMもネーター。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/5
6: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:27:52.68 ID:qBe5NCNE Theorem: Rがネーター環⇒R[X]はネーター環 証明: I⊂R[X]をイデアルとする。IがR[X]上有限生成であることを示す。 J⊂Rを、Iの多項式の最高次の係数になる元全体とする。JはRのイデアルになる。 Rはネーター環なので、Jはa1, ..., an∈Rで生成される。各i = 1, 2, ..., nに対して、aiを最高次の係数に持つIの元が存在するので、それをfi∈Iとおく。また、d = max{deg(fi)}とする。 f = bX^m + (低次の項)∈Iを任意の多項式とする。もし、m > dなら、b = Σri ai (ri∈R)の形だから、f - Σrifi X^(m-d)の次数はdより小さくなり、しかもIに入る。 つまり、R加群として I = (R + RX + ... + RX^(d-1))∩I + ΣR[X] fi 。 (R + RX + ... + RX^(d-1))はネーター環R上有限生成なので、Lemma1よりネーター加群。よって、そのR部分化群(R + RX + ... + RX^(d-1))∩IもR上有限生成。その生成元とf1, ..., fnを合わせると、IのR[X]上の生成元になる。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/6
7: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/09(月) 17:28:04.10 ID:kXRlqM7x 岡の定理は http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/7
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