数学の原理を発見した (20ﾚｽ)
上下前次1-新
1(1): 06/09(月)16:03 ID:1rvvZppX(1) AAS
以下、nは自然数の値を取るとする。
(1) P: ∀n, p(n)は、Pが正しいなら、n=1, 2, ...の場合を試しても永久に証明できない
(2) P: ∃n, p(n)は、Pが正しいなら、有限回で証明が終わる
数学の証明で非自明なものは、大別すればこの2パターンしかない。
(1)を証明するには、無限回の証明を有限回で行う道具が必要になる。たとえば、数学的帰納法など。
(2)を証明するには、問題から一部の情報を取り出す必要がある。たとえば、剰余をとるなど。
2: 06/09(月)16:20 ID:eNAFN9sl(1) AAS
(1)
たとえば、1 + 2 + ... + n = n (n + 1)/2 を証明したいとする。
n = 1, 2, ... の場合をすべて確かめても証明できないが、数学的帰納法を使うと、有限のステップで無限個のケースを証明できる。
極限に関する定理や、コンパクト性などの有限性に帰着させるもの、普遍性を用いるものなどはこのパターン。
(2)
たとえば、a^2 - 3b^2 = 2を満たす整数の組(a, b)が存在しないことを示したいとする。
これも、(a, b)の組を全部試すわけにはいかない。しかし、両辺を3で割ったあまりを考えれば解ける。
このほか、二つの対象が同型でないことを示すのに不変量を比較したり、別の対象への射を考えてみるなども、このパターン。
3(1): 06/09(月)16:25 ID:BG1OKxio(1) AAS
数学の証明で「気付き」や「テクニック」が必要なのは、この2パターンしかない。
あとの部分は、定義や仮定を自明に変形しているだけ。
4: 06/09(月)16:32 ID:kXRlqM7x(1/3) AAS
ど素人か
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 16 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ
ぬこの手 ぬこTOP 0.015s