大学数学の質問スレ Part1 (319ﾚｽ)
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24: 06/08(日)04:10 ID:5glNS3uF(2/4) AA×


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24: [] 2025/06/08(日) 04:10:33.88 ID:5glNS3uF Σ_{n ∈ N_1} x_n は、正項級数だから意味を持つ。 Σ_{n ∈ N_2} x_n は、負項級数だから意味を持つ。 どちらの級数も Σ x_n が絶対収束級数だから収束する。 s_1 := Σ_{n ∈ N_1} x_n とする。 s_2 := Σ_{n ∈ N_2} x_n とする。 ε を任意の正の実数とする。 N_1 の部分集合 M_1 で、 M_1 ⊂ M ⇒ |Σ_{n ∈ M} x_n - s_1| < ε/2 となるようなものが存在する。 N_2 の部分集合 M_2 で、 M_2 ⊂ M' ⇒ |Σ_{n ∈ M'} x_n - s_2| < ε/2 となるようなものが存在する。 N_1_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i ≧ 0} N_2_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i < 0} とする。 M_1 ⊂ N_1_n、M_2 ⊂ N_2_n をみたすような n ∈ N が存在する。 Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i = Σ_{i ∈ N_1_n} x_i + Σ_{i ∈ N_2_n} x_i である。 |Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i　- (s_1 + s_2)| ≦ |Σ_{i ∈ N_1_n} x_i - s_1| + |Σ_{i ∈ N_2_n} x_i - s_2| < ε が成り立つ。 明らかに、 n よりも大きい任意の自然数を n としたときにもこの不等式は成り立つ。 よって、 Σ x_n は収束する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/24
は正項級数だから意味を持つ は負項級数だから意味を持つ どちらの級数も が絶対収束級数だから収束する とする とする を任意の正の実数とする の部分集合 で となるようなものが存在する の部分集合 で となるようなものが存在する とする をみたすような が存在する である が成り立つ 明らかに よりも大きい任意の自然数を としたときにもこの不等式は成り立つ よって は収束する

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