大学数学の質問スレ Part1 (322ﾚｽ)
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233: 07/31(木)17:13 ID:5t/NXspK(6/9) AAS
Tuさんは (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かっていれば自明な
df = Σ ∂f/∂x^i dx^i
という等式を長々とした見通しの悪い議論で証明しています。
df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数です。
ですので、
dx^i は点 p には依存しない方向ベクトルにのみ依存する関数です。具体的には、方向ベクトルを入力としてその x^i 成分を返すような関数です。
df_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の方向微分を返す関数です。
合成関数の微分法の公式により、 df_p(X_p) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (X_p の x_i 成分) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (dx^i)_p(X_p) が成り立ちます。
よって、 df = Σ ∂f/∂x^i dx^i が成り立ちます。
自明です。
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