大学数学の質問スレ Part1 (318ﾚｽ)
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2(2): 05/26(月)11:02 ID:MW0NRypB(2/2) AAS
早速ですがお願いします。
M:m次元多様体
f:M→ℝ:C^∞級関数
0はfの臨界値でない
K:=f^{-1}(0):Mのm−1次元部分多様体
Kはコンパクト
このとき、
「Kのコンパクト性を使うと、十分小さい正整数εについて、[-ε,ε]はfの臨界値を含んでいないことがわかる」
と書かれているのですが、この理由がわかりません。
わかる方いらっしゃいましたら教えていただきたく存じます。
本は松本幸夫先生のMorse理論の基礎です。
また、[-ε,ε]ではなく(-ε,ε)でも問題ないです。
3: 05/26(月)11:28 ID:H6nvv4tx(1/2) AAS
>>1
スレ番と過去ログつけろよ
4: 05/26(月)14:03 ID:0BRlOm1U(1/3) AAS
fの微分の絶対値がK上最小値を取るけど0ではないみたいにやるんじゃね
想像だけど
5: 05/26(月)14:14 ID:IOQ4+0EH(1/2) AAS
|
|
ーーーーーーー
↑
[-ε,ε]
0はfの臨界値でなくてKがコンパクトだから
K∩[-ε,ε]=φとなるεを頑張れば取れるってことかな…
Kは有界閉集合ってことだし…
6(3): 05/26(月)14:17 ID:1P739T/v(1/8) AAS
以下、あっていますよね？
Σ a_n, Σ b_n は絶対収束するとする。
c_n := a_0 * b_n + a_1 * b_{n-1} + … + a_n * b_0 とする。
Σ c_n は絶対収束し、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つことを証明せよ。
証明：
A_n := Σ_{k=0}^n a_k
B_n := Σ_{l=0}^n b_l
C_n := Σ_{m=0}^n c_m
A'_n := Σ_{k=0}^n |a_k|
B'_n := Σ_{l=0}^n |b_l|
C'_n := Σ_{m=0}^n |c_m|
lim_{n→∞} A_n = A
lim_{n→∞} B_n = B
lim_{n→∞} A'_n = A'
lim_{n→∞} B'_n = B'
とする。
コーシーの収束条件より、
任意の正の実数 ε に対して、 n ≧ N ならば、ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N であるような N が存在する。
n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|
つまり、 lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - C'_n) = 0
よって、 lim_{n→∞} (C'_n - A' * B') = lim_{n→∞} [(C'_n - A'_n * B'_n) + (A'_n * B'_n - A' * B')] = lim_{n→∞} (C'_n - A'_n * B'_n) + lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - A' * B') = 0 + 0 = 0
したがって、 lim_{n→∞} C'_n = A' * B'
よって、 Σ c_n は絶対収束する。
つまり、 lim_{n→∞} (A_n * B_n - C_n) = 0
よって、 lim_{n→∞} (C_n - A * B) = lim_{n→∞} [(C_n - A_n * B_n) + (A_n * B_n - A * B)] = lim_{n→∞} (C_n - A_n * B_n) + lim_{n→∞} (A_n * B_n - A * B) = 0 + 0 = 0
したがって、 lim_{n→∞} C_n = A * B
よって、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つ。
7: 05/26(月)14:17 ID:IOQ4+0EH(2/2) AAS
0∈[-ε,ε]だよな
8: 05/26(月)14:21 ID:1P739T/v(2/8) AAS
>>6
AI（GhatGPT, Grok, Gemini）に質問しましたが、どれも間違っているという回答でした。
あっていると思いますが、もし間違っていたら、指摘してください。
9: 05/26(月)14:22 ID:1P739T/v(3/8) AAS
n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|
を
n > 2 * N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|
に訂正します。
10: 05/26(月)14:24 ID:1P739T/v(4/8) AAS
やはりAIはまだまだ駄目ですね。
こんな簡単なこともチェックできません。
11: 05/26(月)14:35 ID:H6nvv4tx(2/2) AAS
常連の馬鹿アスペがこのスレを見つけました
12: 05/26(月)14:44 ID:1P739T/v(5/8) AAS
ちなみに
>>6
の問題は、
堀川穎二著『複素関数論の要諦』
の宿題3に関連する問題です。
13: 05/26(月)14:50 ID:1P739T/v(6/8) AAS
>>6
は有名なので、微分積分の教科書（例えば、松坂和夫著『解析入門』）に書いてあるのですが、
>>6
の証明とは違う証明になっています。
14: 05/26(月)15:11 ID:0BRlOm1U(2/3) AAS
堀川穎二には講義中に罵倒されて鬱になったから絶対に答えてやらねー
15: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 05/26(月)15:51 ID:uoPtX8k0(1/2) AAS
気分に重大な欠陥がないか保健センター。
16: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 05/26(月)15:53 ID:uoPtX8k0(2/2) AAS
に学生研究生までは誘導。職員は大学病院とコネ。うつはうつる。
17: 05/26(月)16:52 ID:1P739T/v(7/8) AAS
堀川穎二さんってどういう教員だったんですか？
18(1): 05/26(月)17:31 ID:0BRlOm1U(3/3) AAS
本スレで聞け
2chｽﾚ:math
19: 05/26(月)17:42 ID:1P739T/v(8/8) AAS
>>18
リンクありがとうございます。
興味深いですね。
20: 05/26(月)19:31 ID:rsjnSrMv(1) AAS
「人間じゃねー」が口癖だったとか
21: 05/28(水)08:58 ID:+IqSozqY(1) AAS
堀川穎二著『複素関数論の要諦』
1 / (1 + z + z^2) をべき級数展開せよ。
「
すぐに思いつくのは 1/(1+t) = 1 - t + t^2 - … に t = z + z^2 を代入することだろう。以前に試験に出したら、 |z + z^2| < 1 を解いて、収束範囲は (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 という答案が続出した。
」
このコメントが意味不明です。
|z + z^2| < 1 を解いても、 (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 とはなりません。
東京大学の数学科に進学予定の学生ってこんなに馬鹿な人も多いんですか？
22: 05/30(金)16:08 ID:CD4cYFeO(1) AAS
口だけ番長のレベル
23: 06/08(日)04:10 ID:5glNS3uF(1/4) AAS
Σ x_n を s に収束する正項級数とする。
φ: N → N を全単射とする。
Σ x_φ(n) は s に収束する。
↑は既知とする。
Σ x_n を絶対収束級数とする。
Σ x_n は収束する。
証明：
N_1 := {i ∈ N : x_i ≧ 0}
N_2 := {i ∈ N : x_i < 0}
とする。
24: 06/08(日)04:10 ID:5glNS3uF(2/4) AAS
Σ_{n ∈ N_1} x_n は、正項級数だから意味を持つ。
Σ_{n ∈ N_2} x_n は、負項級数だから意味を持つ。
どちらの級数も Σ x_n が絶対収束級数だから収束する。
s_1 := Σ_{n ∈ N_1} x_n とする。
s_2 := Σ_{n ∈ N_2} x_n とする。
ε を任意の正の実数とする。
N_1 の部分集合 M_1 で、 M_1 ⊂ M ⇒ |Σ_{n ∈ M} x_n - s_1| < ε/2 となるようなものが存在する。
N_2 の部分集合 M_2 で、 M_2 ⊂ M' ⇒ |Σ_{n ∈ M'} x_n - s_2| < ε/2 となるようなものが存在する。
N_1_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i ≧ 0}
N_2_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i < 0}
とする。
M_1 ⊂ N_1_n、M_2 ⊂ N_2_n をみたすような n ∈ N が存在する。
Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i = Σ_{i ∈ N_1_n} x_i + Σ_{i ∈ N_2_n} x_i である。
|Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i - (s_1 + s_2)| ≦ |Σ_{i ∈ N_1_n} x_i - s_1| + |Σ_{i ∈ N_2_n} x_i - s_2| < ε が成り立つ。
明らかに、 n よりも大きい任意の自然数を n としたときにもこの不等式は成り立つ。
よって、 Σ x_n は収束する。
25: 06/08(日)04:11 ID:5glNS3uF(3/4) AAS
↑の証明ってどうですか？
26: 06/08(日)13:54 ID:5glNS3uF(4/4) AAS
一松信著『解析学序説上巻（旧版）』
べき級数の微分積分のところで、
「
f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + …
右辺の表わす函数は連続だから、 x → a とした極限は、 x = a とおいたものに等しく、 f^{m}(a) = m! * a_m となり
」
という記述があります。
間違ってはいませんが、単に
f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + …
の x に a を代入して、 f^{m}(a) = m! * a_m という結果を得ればいいのではないでしょうか？
新版でも同様の記述があります。
27: 06/08(日)15:20 ID:W03H1iLk(1) AAS
お前この話読むの何週目なん？一周目ではよくわからなくても２，３周したならいいかげん著者が何をいいいたいのかわからんの？
「俺天才、著者はアホ」という心で本と向き合ってるからいつまでたっても進歩できないってわからんの？
28: 06/08(日)18:04 ID:kV53IbjU(1) AAS
なんで、b_n := max(a_n,0)とかしないのか…
29: 06/21(土)21:07 ID:2wPjqBNk(1) AAS
どの微積の入門書を見ても有理関数の不定積分をもとめるときに部分分数分解が万能みたいに書いてるよね
例えば
∫1/(x^5-x+1) dx
とかは四則演算と冪根だけでは解けない事を明記している本ってある？
30: 06/21(土)21:55 ID:gIBPITlW(1) AAS
そんなへんな本があったら俺も見てみたい
31: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 06/21(土)22:00 ID:wHPeXAhh(1/4) AAS
ブサイク病感染、美人欠陥障害のことだな、手際よく繁殖ならブサイク、ふたりで永遠を描くなら美人。
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