大学数学の質問スレ Part1 (322ﾚｽ)
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177: 07/27(日)19:21 ID:w+91Ip6O(1/3) AAS
>>175
これ成り立たないの？
普通に成り立ちそうだけど
178: 07/27(日)20:29 ID:dnfSDs4w(1/3) AAS
ヨコだけど |x| を原点との距離として
f(x) = -4exp(-2|x|^4) + 2exp(-|x|^2) + cos(|x|^2) exp(-|x|^2)
とかでだめだと思う。f(x) = 0 となるのは |x| = 0.86.. ぐらいだけど f^(-1)((-ε,ε)) となる x は |x| がいくらでも大きいところまで続いてしかも増減を無限にくりかえす。
179(1): 07/27(日)20:35 ID:dnfSDs4w(2/3) AAS
まぁ M 本体そのものがコンパクトなら反例はないけど。どうせメインはその仮定はいるから筆が滑っただけだとは思う。
180: 07/27(日)20:39 ID:6gFXRl6Z(2/4) AAS
f(x)の臨界値が0に集積する場合とか無いのか？
x*sin(1/x)の様に0の近くで激しく振動するばあいとか
181(1): 07/27(日)20:45 ID:6gFXRl6Z(3/4) AAS
>>175
>>179が言うように、Mがコンパクトとか何か良い仮定が無いとダメだと思う
182: 07/27(日)21:13 ID:w+91Ip6O(2/3) AAS
たしかに
183: 07/27(日)21:44 ID:w+91Ip6O(3/3) AAS
Mがコンパクトのときは、背理法使うと臨界点の列p_nでKの点pに収束するものが取れるけど、pの近傍には臨界点ないから矛盾するな
もうちっと丁寧にやりたいな…
184(1): 07/27(日)22:06 ID:VBdwsvAc(1) AAS
数列{a[n]}wo、a[1]=a(>1), a[n+1]=S[n]/(S[n]-1) (n=1,2,3,…)_で定めます。ただし
S[n]=a[1]+…+a[n] です。
このとき n→∞ のとき a[n]→1に収束すると思うんですがどう示せますか。
また、a[n]-1 はどのくらいのレベルで0に近づきますか。
185(1): 07/27(日)22:11 ID:6gFXRl6Z(4/4) AAS
>>181だけど、>>2は「関数fがモース関数」という仮定が抜けていると思われる。
モース理論をするなら、モース関数という仮定が無いとダメだろう。
モース関数なら、臨界点は孤立するから、集積するようなことが起こらない。
186(1): 07/27(日)22:42 ID:dnfSDs4w(3/3) AAS
モース関数でもだめでしょ。
いくらでも小さい値の臨界値をもつが、M 本体がコンパクトでもなんでもなければ P_n で臨界値、| f(P_n) | < 1/n、 lim P_n は無限遠点に逃げていくモース関数の例なんていくらでもありそうな。
187: 07/28(月)10:56 ID:w6CEDhLN(1/2) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
germというのが出てきますが、なぜこれを考える必要があるんですか？
実際、Tuさん自身も v 方向の方向微分を点 p の近傍で C^∞ であるような関数 f に対しては定義していますが、germの元に対しては定義していません。
ですが、突然、germの元に対して、その v 方向の方向微分を対応させる関数を考えています。
もちろん代表元を使って定義するというのは分かるのですが、正式には定義していません。
これはgermという概念が不要であることを意味しませんか？
例えば、 Z/(m*Z) という環など知らなくても、modだけで十分な場合が多いですよね。
Z/(m*Z) が体になるのは m が素数のときであるとかいう場合には、 Z/(m*Z) という概念が必要になると思いますが。
188: 07/28(月)12:59 ID:w6CEDhLN(2/2) AAS
Tuさんは都合の良いときにだけ、同値類として扱います。
189: 07/28(月)13:21 ID:rsmqEGIP(1) AAS
>>184 定義からつねにa[n]>1だからS[n]→∞。
なので a[n+1]=S[n]/(S[n]-1)=1/(1-1/S[n])→1 (n→∞)であきらか。
190: 07/28(月)13:58 ID:b3lcNN0d(1/3) AAS
>>185-186
つまり、M:コンパクト、f:モース関数と2つ仮定しないと成り立たないんですね
191: 07/28(月)15:09 ID:BO4Bo9lp(1/2) AAS
モース関数はいらなくない？
本にはコンパクトでモース関数だと臨界点は有限個ってもっと強いこと書いてあるよ
192(1): 07/28(月)15:17 ID:BO4Bo9lp(2/2) AAS
モース関数の定義にf^-1((-∞,a])がコンパクトが入ってるから、この問題だとモース関数だけでよくないかな
f^-1((-∞,1])がコンパクトだから、Mがコンパクトなのとたいして変わらなさそう
193: 07/28(月)16:21 ID:b3lcNN0d(2/3) AAS
>>192
通常、モース関数の定義は「臨界点がすべて非退化」だけだと思う。
もし、f^-1((-∞,a])がコンパクトも仮定するなら、Mのコンパクト性ははずせるが、特殊な定義の様に思う。
194: 07/28(月)16:23 ID:b3lcNN0d(3/3) AAS
退化した臨界点も許すボット式モース理論もあるが、私はよう知らん
195(1): 07/28(月)21:26 ID:Oyr8TCkw(1) AAS
初歩的な質問ですがお願いします
杉浦さんの解析学入門Ⅰで実数の公理として17個の性質を挙げています
その実数から自然数、整数、有理数を構成しています
この公理を満たす物が存在するかどうか分からないので、厳密に実数を定義するなら自然数の定義から始めないといけないというのをネットで見かけます
自然数の定義にしろ前述の実数の定義にしろ、公理だからそこに疑問を持つ必要はないのではと思います
196: 07/28(月)22:05 ID:hIzCVexn(1) AAS
>>195
よく分からんけど
実数の公理とやらで
我々の知る実数がそのモデルになるんじゃ無いの？
んでその公理を満たす集合が先に出来て
そこからその部分集合として自然数とかを定義するのは
そうおかしくもないような
197: 07/28(月)22:43 ID:YuDI7wQm(1) AAS
べつに実数の公理を定めてそこからスタートしてもいいよ。
198(1): 07/29(火)08:42 ID:i5a4Qo4s(1/4) AAS
自然数と実数はどちらがprimitiveなものなのかは決めることはできないですよね。
199(1): 07/29(火)18:57 ID:i5a4Qo4s(2/4) AAS
f : U → R を C^∞ 関数とする。
1-form df を以下で定義する。
(df)_p(X_p) = X_p f
(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。
T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、
なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？
200(2): 07/29(火)19:08 ID:i5a4Qo4s(3/4) AAS
(df)_p への入力は X_p です。
T_p(R^n) の全ての元を得るには、 X を動かす必要があります。
ここで気持ちの悪いことが起こります。
X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。
201: 07/29(火)19:22 ID:fRK0B8AG(1/2) AAS
何も気持ち悪くないし何を問題にしようとしてるのか全くわからん
202(1): 07/29(火)20:16 ID:i5a4Qo4s(4/4) AAS
T_p(R^n) から R への写像を定義するのに、異質な X など使う必要がありません。
203: 07/29(火)20:23 ID:TQJw0m2i(1) AAS
仮引数なんだから変数1個で受け止めるのは普通やろ…
204: 07/29(火)21:46 ID:fRK0B8AG(2/2) AAS
>>202
なら何だったらいいの？x(小文字)とかaとかならいい？
それともベクトル空間の基底が与えられたら任意の元を表すのに一々その一次結合で書かないと気が済まないの？
205: 07/29(火)21:47 ID:CExXJBAc(1/2) AAS
vで
206(1): 07/29(火)22:16 ID:gfm8pxP0(1) AAS
>>198
個々の数では比較しようがないが、全体なら実数の方が高級である。
実数全体のなす集合は、極限操作で閉じているから。
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