大学数学の質問スレ Part1 (322ﾚｽ)
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147(1): 07/21(月)21:18 ID:lprS0dfP(1/2) AAS
上野代数幾何入門p194に
xとyの２変数多項式
(y-a_1 x)…(y-a_n x)-x^(n-2) (a_1,,,a_n は 複素数)
の根が
y=x (x^(-2/n)-b/n+ c_1 x^(2/n) +c_2 x^(4/n)+c_3 x^(6/n)+…)
(ここでb=-(a_1+…+a_n) ，c_1,,,c_n は複素数)
という形になると書いてあるのですが、
なぜそうなるかがわかりません
148: 07/21(月)21:24 ID:FNiifGED(10/15) AAS
n 回導関数の属が一様可積分なんだからいけるでしょ。
f[N](x) := Σ[n≦N]1/n! |x-1/n|^(n) として f[N](x) は |x|<1/n において n 回微分可能。 f⁽ⁿ⁾[N](x) は一様有界関数族である gₙ(x) に各点収束する。すなわち
f⁽ⁿ⁾[N](x) → gₙ(x)、f⁽ⁿ⁻¹⁾[N](x) → gₙ₋₁(x)、関数族は一様可積分
だから gₙ₋₁(x)' = gₙ(x)。∴ f(x) = g₀(x) は |x|<1/n において n 回微分可能。
149: 07/21(月)22:27 ID:FNiifGED(11/15) AAS
こんなかんじかな？
t := x^(2/n)、z := ty/x とおいて与式は
(z-ta_1)...(z-ta_n) = 1...①
となる。z が t のべき級数としてえられるべき級数解をかんがえる。
150: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(12/15) AAS
まずℂ[[t]] での解を考える。z(0) = 1 である。z⁽ⁿ⁾(0) まで決まってそれが a の多項式でかけているとする。 ①の対数微分より
(z’-a_1)/(z-ta_1)+...+(z’-a_n)/(z-ta_n) = 0
であるからn階微分して
151: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(13/15) AAS
ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ + ... + ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ = 0
ここに t = 0 を代入すると (1/( z-ta_i ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ の分母にでてくる式は ( z-ta_i )) のべきであり t=0 のとき 1 である。よって結果は nz⁽ⁿ⁺¹⁾(0) + (z⁽ᵏ⁾(0) と a の多項式) = 0 の形である。
152: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(14/15) AAS
よって帰納的に z⁽ⁿ⁾(0) は a の多項式でかける。さらに展開にあらわれる項の数は n の指数オーダーより小さいから得られる z⁽ⁿ⁾(0) の大きさは高々 n の指数オーダーでおさえられるから得られる級数は 0 でない収束半径をもつ。
153: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(15/15) AAS
細かいとこあってないかも
154: 07/21(月)22:46 ID:lprS0dfP(2/2) AAS
凄い
素早いレスありがとうございます！
ちょっとたどってみます
155: 07/22(火)07:54 ID:CbEnPq4B(1) AAS
後半の収束半径の話はだめかもしれない。
t に関して正則になる証明は普通に Newton Raphson のほうがいいみたい。
----
fₜ (z) = ( z - taₙ )...( z - taₙ) - 1
Pₜ(z) = z - fₜ (z)/(∂fₜ/∂z)(z)
z₁(t) = 1, zₖ₊₁(t) = Pₜ(zₖ(t))
とおく。P₀(z) = z - ( zⁿ - 1 )/nzⁿ⁻¹、P₀’(1) = 0 だから十分小さい R,T を任意の |z-1|<R, |t|<T に対して |Pₜ’(z)| < 1/2 が満たされるようにとれる。よって |t|<T のとき列 (zₖ(t)) は |z-1|<R において一様に収束し lim zₖ(t)) は t について正則である。
156(1): 07/22(火)16:33 ID:bi/mtvKn(1) AAS
何を議論してのかわからん、爺の蘊蓄か
157: 07/22(火)17:54 ID:XdxqJpaH(1) AAS
>>156
>>147
158: 07/22(火)18:17 ID:3z8X5+3w(1) AAS
分からない議論がそうだったことが多い？
159: 07/25(金)22:54 ID:3T0T5wgB(1) AAS
「AならばB」は、if A then B より B if A とするほうが自然ですか？
160: 07/25(金)23:13 ID:XzsPzp2P(1) AAS
not A or Bかな
161: 07/26(土)16:56 ID:5Tx1q8wa(1/2) AAS
例えば、いきなりTuさんの多様体論の本や松本さんの多様体論の本を読むのと、SpivakさんやMunkresさんの多様体上の微分積分の本を読むのではどちらがおすすめですか？
162: 07/26(土)17:37 ID:UMxclgow(1/2) AAS
何でも良いと思います
163(3): 07/26(土)17:48 ID:/Z199esI(1/4) AAS
SQLで数独を解いています
1～9の数字が重複しないようにデータを
作成し用意します(362880行)
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,2,3,4,5,6,7,9,8
1,2,3,4,5,6,8,7,9
・
・
9,8,7,6,5,4,3,2,1
この行を組み合わせて数独を解く際、
タテの列の合計が45
各ボックスの合計が45
であれば解が完成と見なせるでしょうか？
元ネタ
外部ﾘﾝｸ:note.com
では、各列、各ボックスを厳密に見てます
・各列の値は重複しない
・各ボックス内の値は重複しない
が、そこまでしなくていいような？
164: 07/26(土)18:01 ID:/Z199esI(2/4) AAS
例えば、ある列が
1
1
3
4
5
6
7
9
9
の場合でも列合計が45になるのだから
ダメに決まってるような気もするし、
その場合ボックス合計が45にならない？
（つまり列とボックスが各計45ならよい）
気もします
165: 07/26(土)18:10 ID:kngNR0q7(1) AAS
>>163
よせでやれ
166: 07/26(土)18:36 ID:5Tx1q8wa(2/2) AAS
例えば、いきなりTuさんの多様体論の本や松本さんの多様体論の本を読むのと、SpivakさんやMunkresさんの多様体上の微分積分の本を読むのではどちらがおすすめですか？
なんかSpivakさんの本やMunkresさんの本の多様体の部分よりもより抽象的なTuさんの本のほうが分かりやすいように感じます。
167: 07/26(土)21:30 ID:UMxclgow(2/2) AAS
何でもよいと思います
168: 07/26(土)22:35 ID:QYGwtTdO(1/2) AAS
１２３４５６７８９
４５６７８９１２３
７８９１２３４５６
３１２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
５６４８９７２３１
８９７２３１５６４
桶
１①３４⑥６７８９
４⑥６７⑦９１２３
７８９１２３４５６
３１２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
５６４８９７２３１
８９７２３１５６４
ダメだけど足して４５のみ
169: 07/26(土)22:52 ID:QYGwtTdO(2/2) AAS
②①３４５６７８９
⑤④６７８９１２３
７８９１２３４５６
①③２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
５６４８９７２３１
８９７２３１５６４
さらに１～９まで全部９個ずつ、縦横全ブロック45だけどダメ
170: 163 07/26(土)23:01 ID:/Z199esI(3/4) AAS
ありがとうございます
あらかじめ、ダブりのない
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,2,3,4,5,6,7,9,8
1,2,3,4,5,6,8,7,9
・
・
9,8,7,6,5,4,3,2,1
の362880行（横方向）のデータを
テーブルに用意しておき、
行についてはそこから取ってきます
（数独の完成形は、362880行から9行選んだもの）
ですから168の
１①３４⑥６７８９
４⑥６７⑦９１２３
という行はありえないんです
169は、解としてはokなのでは
171: 163 07/26(土)23:36 ID:/Z199esI(4/4) AAS
よく見たら、169は
タテヨコボックスすべて合計45ですが
1列目と2列目、数字のダブりがありますね
というわけで、私の仮説は完敗でした
（合計45方式だとSQL文をおもいっきり簡単にできるんです）
172(1): 07/27(日)11:56 ID:l07VtkZb(1/3) AAS
V を n 次元ベクトル空間とする。
V* を V の双対空間とする。
a1, …, an を V* の基底とする。
ai(vi) = 1 for i ∈ {1, …, n}
ai(vj) = 0 for i, j ∈ {1, …, n} such that i ≠ j
となるような V の基底 v1, …, vn が存在することを V と V* の双対性を使わずに証明せよ。
173: 07/27(日)11:58 ID:l07VtkZb(2/3) AAS
双対という考え方が重要であることが分かるいい問題ですかね？
174: 07/27(日)12:49 ID:1NymgaJg(1) AAS
>>172
(ai(vj)(cj)=0
(ai(Σvjcj))=0
Σcjvj=0
cj=0
rank(ai(vj))=n
(ai(vj))(bjk)=(eik)
(ai(Σvjbjk))=(eik)
wk=Σvjbjk
175(2): 07/27(日)17:07 ID:6gFXRl6Z(1/4) AAS
>>2
それ本当？
何ページに書いてあるの？
176: 07/27(日)18:16 ID:l07VtkZb(3/3) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
p.62 「以後、 (U, φ) という定式化から来る煩わしさを避けるため、 (U, φ) には上のようにして、局所座標系 (x_1, x_2, …, x_m) が描かれていると考えることにしよう。」
↑これがこの本の最大の欠点だと思います。
φ をちゃんと陽に使って説明したほうがクリアで分かりやすいはずです。
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