面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (234ﾚｽ)
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6(1): 05/02(金)01:54 ID:I5V0m0za(2/3) AAS
前スレ990の問題
p(x)が0次のときは0か1
1次のときはxであることがすぐ示せる
2次以上は帰納法で示す
i次(2≦i≦k)のとき、x^iのみと示せたとする
k+1次のとき、x=1を代入しp(0)p(2)=p(0)を得る
ここでp(2)=0だとするとx=3を代入しp(2)p(4)=p(8)=0
x=7を代入しp(6)p(8)=p(48)=0…とp(x)は無限個の異なる解を持ってしまい矛盾する
よってp(2)≠0なのでp(0)=0
p(x)/xはk次多項式で同じ仮定の等式を満たす
よって仮定からp(x)/x=x^kとなり帰納法が成立する

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119: 07/08(火)19:24 ID:a7bu0tTH(1) AAS
>>118
まあそういうこと お疲れさまです
（解答）方程式のうち１つ目を①、２つ目を②とおく

(1) Σの範囲は全て i=1,2,…,20 とする。※(2)も同じ
②-① より Σ(i-1)|x_i| ≧ |Σix_i - Σx_i| = 20.
20×①-② より Σ(20-i)|x_i| ≧ |20Σx_i - Σix_i| = 1.
これらを足し合わせて Σ19|x_i| ≧ 21 が導ける.
(x_i)_i = (-1/19, 0,0,…,0, 20/19) が等号を満たすので、求める最小値は 21/19.

(2) M := max { |x_i| : i=1,2,…,20 } とおく。
②-6×① より (5+4+…+1+0+1+…+14)M ≧ | Σ(i-6)x_i | = 15.
x_i = -1/8 (i≦6), 1/8 (i>6) と定めれば等号を満たすので、求める最小値は 1/8.

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