面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (247ﾚｽ)
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130(1): 07/11(金)21:48 ID:pCjWjeqh(4/7) AAS
(i) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (3^a⋅4^b/2,2) のとき
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 3^a⋅4^b/2
5^(c/2) + 1 = 3^a⋅4^(b-1)
∴ c>0 a:even,
5^(c/2) = (3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1)(3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1)
3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1), 3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1 はともに 5 べきで差が２より矛盾。
∴(i) に解なし。
134: 07/12(土)08:21 ID:v+eu2xVR(1) AAS
>>130 以降の議論が追えないので整理してみた
c'=c/2, d'=d/2 とおく
(i)
7^d' + 5^c' = (3^a×4^b)/2 …(i-1)
7^d' - 5^c' = 2 …(i-2)
(i-1)-(i-2) を整理して 5^c' + 1 = 3^a×4^(b-1)
この式のmod4は (左辺)≡2, (右辺)≡0,1,3 になるので解無し
(ii)
7^d' + 5^c' = 2×3^a …(ii-1)
7^d' - 5^c' = (4^b)/2 …(ii-2)
d>0 より (ii-1) の左辺は8以上になるので、a>0.
これより (ii-1) のmod3をとると 1 + (-1)^c' ≡ 0. ゆえに c' は奇数。
したがって (ii-2) のmod8をとると (-1)^d' - 5 ≡ 0 or 2 であるから d' は奇数、b=1 でなければならない。
しかし b=1 を (ii-1)-(ii-2) に代入して整理すると 5^c' = 3^a - 1 となり、mod2で矛盾するため解無し。
(iii)
7^d' + 5^c' = (4^b)/2 …(iii-1)
7^d' - 5^c' = 2⋅3^a …(iii-2)
(iii-1) のmod8をとると 5^c' ≡ (4^b)/2 - (-1)^d' ≡ 1,3,7 であるから、c' は偶数。
c''=c'/2 とおくと、(iii-1)-(iii-2) を整理して変形することで
3^a = (2^(b-1) + 5^c'')(2^(b-1) - 5^c'')
を得る。
ゆえにこの右辺で掛け合わされている２つの因数はいずれも3以外の素因数を持たないが、
２つの因数の最大公約数は (2^(b-1) + 5^c'') + (2^(b-1) - 5^c'') = 2^b の約数でもなければならず、したがって 1 以外にあり得ない。
以上より
2^(b-1) + 5^c'' = 3^a …(iii-3)
2^(b-1) - 5^c'' = 1 …(iii-4)
が導ける。(iii-4) のmod8をとることにより b=2 でなければならないことがわかるので、
(iii-4) から c''=0、 (iii-3) から a=1、 (iii-1) から d'=1 が順に導ける。
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