面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (234ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
187: 08/04(月)16:12 ID:wklzv92S(1/4) AAS
まあ変な願望は捨てて真面目に互除法の構造に対する帰納法でやると
m=1,n=1のときは自明
m,nについて成り立つと仮定して、m,m+nのときは
(m+m+n-1)!/m!(m+n)!
=(m+n-1)!/m!n! × _{2m+n-1}C_{m+n-1}
なので自然数
188: 08/04(月)18:41 ID:wklzv92S(2/4) AAS
計算間違ってるやん
190: 08/04(月)22:43 ID:wklzv92S(3/4) AAS
>>189
だめだっから最初の対称性を使って解き直したとこ
191: 08/04(月)22:51 ID:wklzv92S(4/4) AAS
S=ℤ_{m+n}
X={x⊂S | #x=m}
として、#Xがm+nで割り切れることを示す
G={+rする平行移動 | r∈S}はXに作用する
x∈Xとg∈Gに対して、gx=xとするとg=e
なぜなら、a∈xを1個取ってきて、列g^kaを作るとどこかでaに戻ってくる。この長さをNとすると、これはaに依らないので、この軌道によりxは等分され、Nはmの約数である。gの平行移動量をrとすると、Nr=0であり、Nはm+nの約数である。よってN=1でr=0
というわけで、xの軌道Gxの要素数は#G=m+nになるため、#Xはm+nで割り切れる
あってるかな？
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