フェルマーの最終定理の証明 (997ﾚｽ)
上下前次1-新
968: 10/04(土)12:53 ID:ay8RJHln(3/7) AA×
969: 10/04(土)12:54 ID:ay8RJHln(4/7) AA×
970: 10/04(土)13:00 ID:ay8RJHln(5/7) AA×
971: 10/04(土)13:01 ID:ay8RJHln(6/7) AA×
972: 10/04(土)13:02 ID:ay8RJHln(7/7) AA×
973: 与作 10/04(土)16:01 ID:IyD+R4lh(2/4) AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
974: 与作 10/04(土)18:58 ID:IyD+R4lh(3/4) AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
975: 与作 10/04(土)21:53 ID:IyD+R4lh(4/4) AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
976: 10/05(日)00:21 ID:RAyhnXPg(1/6) AA×
977: 10/05(日)00:23 ID:RAyhnXPg(2/6) AA×
978: 10/05(日)00:25 ID:RAyhnXPg(3/6) AAS
2/{z(z-1)(z-2)}
(1)
f(z)=2/{z(z-1)(z-2)}
=(2/z){-1/(z-1)+1/(z-2)}
=(2/z)(1/z)[-1/{1-(1/z)}+1/{1-(2/z)}]
=(2/z^2){-1/(1-a)+1/(1-b)}
ただし、a=1/z、b=2/z であり、ともに |a|<1、|b|<1 を満たす。従って、
f(z)=(2/z^2){-(1+a+a^2+a^3+…)-(1+b+b^2+b^3+…)}
=(2/z^2)Σ[n=0→∞]{a^n+b^n}
=(2/z^2)Σ[n=0→∞]{(1/z)^n+(2/z)^n}
=2Σ[n=0→∞](1+2^n)z^(-n-2)
|z/2|<1、|1/z|<1
f(z)=2/{z(z-1)(z-2)}
=(2/z){-1/(z-1)+1/(z-2)}
=(2/z){1/(1-z)+(1/z)(1/{1-(2/z)})}
=(2/z){Σ[n=0→∞]z^n+(1/z)Σ[n=0→∞](2/z)^n}
=(2/z){Σ[n=0→∞]z^n+Σ[n=0→∞]2^nz^(-n-1)}
=2Σ[n=0→∞]{z^(n-1)+2^nz^(-n-2)}
0<|z|<1
f(z)=2/{z(z-1)(z-2)}
=(2/z){-1/(z-1)+1/(z-2)}
=(2/z){1/(1-z)-1/(2-z)}
=(2/z){1/(1-z)-(1/2)(1/{1-(z/2)})}
=(2/z)Σ[n=0→∞]{z^n-(1/2)(z/2)^n}
=(2/z)Σ[n=0→∞]{1-2^(-n-1)}z^n
=2Σ[n=0→∞]{1-2^(-n-1)}z^(n-1)
979: 10/05(日)00:27 ID:RAyhnXPg(4/6) AA×
980: 10/05(日)05:28 ID:RAyhnXPg(5/6) AA×
981: 10/05(日)05:29 ID:RAyhnXPg(6/6) AA×
982: 与作 10/05(日)19:27 ID:FSNS4f6G(1) AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
983: 10/06(月)05:02 ID:1Ye8GrkS(1/6) AA×
984: 10/06(月)05:02 ID:1Ye8GrkS(2/6) AA×
985: 10/06(月)05:04 ID:1Ye8GrkS(3/6) AA×
986: 与作 10/06(月)10:27 ID:Q83LqTaT(1/4) AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
987: 与作 10/06(月)12:31 ID:Q83LqTaT(2/4) AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
988: 与作 10/06(月)15:44 ID:Q83LqTaT(3/4) AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
989: 与作 10/06(月)17:52 ID:Q83LqTaT(4/4) AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
990: 10/06(月)19:54 ID:1Ye8GrkS(4/6) AA×
991: 10/06(月)19:55 ID:1Ye8GrkS(5/6) AA×
992: 10/06(月)19:55 ID:1Ye8GrkS(6/6) AA×
993: 10/07(火)06:35 ID:5ZCx7vHN(1/5) AAS
EGCalc で使える関数
sqr // A 累乗 3^2 sqr(3) = 9
cub // B 三乗 3^3 cub(3) = 27
root // C 平方根 √3 root(3) = 1.73205080756888
abs // D 絶対値 |-3| abs(-3) = 3
asin // E
acos // F
atan // G
sin // H
cos // I
tan // J
log // K
exp // L exp(-0.012521549851925) = 0.987556518567828
int // M int(123.456) = 123
frac // N Frac(123.456) = 0.456
pos // O
─────────────────────────────────────────
p1 = p0*exp(-ρ0･g･z1/p0)
p2 = p0*exp(-ρ0･g･z2/p0)
ρ0*g*z1/p0 = 1.293*9.81*100/101300 = 0.012521549851925
ρ0*g*z2/p0 = 1.293*9.81*950/101300 = 0.118954723593287
exp(-0.012521549851925) = 0.987556518567828
exp(-0.118954723593287) = 0.887847998419016
p1 = 101300*0.987556518567828 = 100039.475330921
p2 = 101300*0.887847998419016 = 89939.0022398463
p1-p2 = 100039.475330921-89939.0022398463 = 10100.4730910747
994: 10/07(火)06:41 ID:5ZCx7vHN(2/5) AAS
1 + r = (e^r-1)/r
r + r^2 = e^r - 1
e^r = r^2 + r + 1
f(x) = e^x - x^2 - x - 1
とおくと
f'(x) = e^x - 2x - 1
f''(x) = e^x - 2
e^x - 2 = 0, e^x = 2, x = log2.
f''(x) は単調増加関数なので
x < log2 ⇒ f''(x) < 0 ∴f(x)は上に凸、f'(x) は x < log2 で減少
x > log2 ⇒ f''(x) > 0 ∴f(x)は下に凸、f'(x) は x > log2 で増加
f'(0) = 0
f'(1) = e - 3 < 0
f'(2) = e^2 - 5 > 0
なのでαを
f'(α) = 0, 1 < α < 2
を満たす値とするとf'(x) は
x < log2 で減少するから x < 0 で正
x = 0 で 0
x > log2 で増加するから α < x で正
0 < x < αで負
となる。よって f(x) は x < 0 で増加、0 < x < αで減少、α < x で増加
f(0) = 0
f(1) = e - 3 < 0
f(2) = e^2 - 7 > 0
なのでβを
f(β) = 0, 1 < β < 2
を満たす値とすると f(x) は
x < 0 で負, x = 0 で 0, 0 < x < βで負, β < x で正
となるから f(x) = 0 の解は x = 0,βの2つである。
e^2 ≒ 7.4 から f(2) ≒ 0.4 なのでβは 2 より少し小さい値
a[0] = 2 として
a[n+1] = { a[n] - (e^a[n]-a[n]^2-a[n]-1) } / (e^a[n] -2a[n] -1 )
= { (a[n]-1)e^a[n]-a[n]^2+1 } / (e^a[n] - 2a[n] - 1 )
によりニュートン法で計算すると
a[1] = 1.8371507060
a[2] = 1.7957938603
a[3] = 1.7932909822
a[4] = 1.7932821330
a[5] = 1.7932821329
a[6] = 1.7932821329
a[7] = 1.7932821329
したがって f(x) = 0 の解は x ≒ 0,1.7932821329 なので 1+r = (e^r-1)/r の解は
r ≒ 1.7932821329
995: 10/07(火)06:45 ID:5ZCx7vHN(3/5) AAS
x + y + 2z = 1、x^2 + y^2 + 4z^2 = 3
x + y + 2z = 1 ･････(#1)
x^2 + y^2 + 4z^2 = 3 ･････(#2)
(x+y+2z)^2 - 2(xy+2yz+2zx) = 3
xy + 2yz + 2zx = -1 ･････(#3)
u = xyz
2xyz = 2u ･････(#4)
t^3-t^2-t-2u = 0 ･････(#5)
f(t) = t^3-t^2-t-2u ･････(#6)
f'(t) = 3t^2-2t-1
= (3t+1)(t-1)
-11/27-2u≧0 ･････(#7)
-1-2u≦0 ･････(#8)
(#7)(#8)より
-1/2≦u≦-11/54
-11/54,-1/2
996: 10/07(火)23:42 ID:5ZCx7vHN(4/5) AAS
function GaussJordanPv(N: Integer):Integer;
var
pRow,pv, k, j: Integer;
mMax,R_pivot, temp: Extended;
begin
for k := 1 to N do
for j := 1 to N do
if k = j then RA[k][j] := 1.0
else RA[k][j] := 0.0;
for pv := 1 to N do //行ループ
begin
mMax := 0.000001;
for k := pv to N do //行ループ 最大値探索
begin
if Abs(A[k][pv]) > mMax then
begin
mMax := Abs(A[k][pv]);
pRow := k;
end;
end;
if mMax <= 0.000001 then //誤差対策
begin
MessageDlg('解が存在しないかまたは不定です！', mtwarning, [mbok], 0);
Result := 0;
Exit;
end;
//行の入れ替え
if pv <> pRow then
begin
for k := 1 to N+1 do //列ループ
begin
temp := A[pv][k];
A[pv][k] := A[pRow][k];
A[pRow][k] := temp;
end;
997: 10/07(火)23:42 ID:5ZCx7vHN(5/5) AAS
for k := 1 to N do //列ループ 単位行列
begin
temp := RA[pv][k];
RA[pv][k] := RA[pRow][k];
RA[pRow][k] := temp;
end;
end;
//pivot行の処理 ⇒ 対角成分 = 1
R_pivot := 1.0/A[pv][pv]; //pivotの逆数
for j := 1 to N+1 do //列ループ
A[pv][j] := A[pv][j]*R_pivot;
for j := 1 to N do //列ループ 単位行列
RA[pv][j] := RA[pv][j]*R_pivot;
//pivot 行以外 pivot 列を 0 にする
for k := 1 to N do
begin
temp := A[k][pv]; //pivot 行以外の pivot 列
begin
for j := pv to N+1 do //pivot 列以降を処理
if k <> pv then
A[k][j] := A[k][j] - temp*A[pv][j];
for j := 1 to N do //全列処理（単位行列）
if k <> pv then
RA[k][j] := RA[k][j] - temp*RA[pv][j];
end;
end;
end;
Result := 1;
end;
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