フェルマーの最終定理の証明

フェルマーの最終定理の証明 (979ﾚｽ)
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957: １３２人目の素数さん [] 2025/10/01(水) 13:03:22.98 ID:zxDjagoq

x = cosθ, y = sinθ
　　dx = -sinθdθ,　dy = cosθdθ.
　　x:-1→1　θ:-π→π
　　?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ.
　　t = cosθ.　　dt = -sinθdt.　 θ:-π→π　t:-1→1
　　-∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ= ∫[-1〜1]t^3dt = 0
　　?_C x^3 dy = ∫[0-2π]cos^3θcosθdθ= ∫[0-2π]cos^4θdθ
　　= ∫[0-2π](3/8)+(1/2)cos2θ+(1/8)cos4θdθ
　　= (3/8)2π = 3π/4.
　　∂P/∂y = 0.
　　?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]0*sinθdθ = 0.
　　∫0dx = F(x)= C.（常にF(x)= C ）
　　∫[a→b]0dx = F(b) - F(a) = C - C = 0
　　∂P/∂x = 3x^2.
　　?_C x^3 dx = ∬_D 3x^2 dxdy = 3∬_D x^2 dxdy
　= 3∫[-1〜1]x^2 ∫[-√(1-x^2)〜√(1-x^2)]dy dx
　= 3∫[-1〜1]x^2*2√(1-x^2)]dx
　　x = sint,　dx = costdt.　 x:-1→1　t:-π/2→π/2
　　 1　　　　　　　　　　　π/2
　　3∫x^2*2√(1-x^2)]dx = 3∫(sint)^2*2cost*cost dt
　　-1　　　　　　　　　　 -π/2
　　　 π/2　　　　　　　　　　　π/2
　 = 6∫(sint)^2*(cost)^2dt = 3/2∫(1-cos2t)(1+cos2t) dt
　　　-π/2　　　　　　　　　　 -π/2
　　　 π/2
　 = 3/2∫(1-(cos2t)^2) dt
　　　-π/2
　　　 π/2　　　　　π/2
　 = 3/2∫　 dt - (3/4)∫1 + cos4t dt
　　　-π/2　　　　　-π/2
　 = 3π/2 - 3π/4 = 3π/4

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/957

960: １３２人目の素数さん [] 2025/10/03(金) 07:02:46.58 ID:cs4+xj87

tan z = sin z / cos z
　cos z の零点は、z = π/2 + mπ (m は整数)。
　tan z は z = π/2 + mπ で一位の極をもつ(tan z の特異点)。
　　tan z = a/(z - α) + b + c(z - α) + ……
　　(z - α)tan z = a + b(z - α) + ??……?
　α = π/2 + mπ では、z → α の極限を取り、
　　(z - α)tan z = sin z / {cos z/(z - α)}
→ sin α / cos' α = sin α / (- sin α) = - 1
　z-pi/2=u とおくと、
　　tan(z) = -cos(u)/sin(u)
　　　　　 = (-1/u)*{1-u^2/2!+...}/{1-u^2/3!+...}
　　　　　 = (-1/u)*{1+3u^2+...}.
　　tan(z) = sin(z) / cos(z)
　　sin(z) は C 上特異点なし。
　　cos(z) の 零点 → tan(z) の特異点
　　cos(z) の 零点 (1/2+n) π

cos(z) = cos ( {z-(1/2+n)π} + (1/2+n)π )
　　　　　 = cos (z-(1/2+n)π)cos (1/2+n)π - sin(z-(1/2+n)π)sin (1/2+n)π
　　　　　 = (-1)^(n+1) sin (z-(1/2+n)π)
　よって、
　　lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / cos(z)
　= (-1)^(n+1) lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / sin(z - (1/2+n)π)
　　tan(z) = i{exp(2iz)-1}/{exp(2iz)+1}
　　z = (1/2+n)π
　　A = lim{z-(1/2+n)π}tan(z)
　　　= lim i{exp(2iz)-1}/[{exp(2iz)+1}/{z-(1/2+n)π}]
　　A = 1

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/960

966: １３２人目の素数さん [] 2025/10/04(土) 12:50:14.24 ID:ay8RJHln

y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
　　y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4

D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
　　D = -2（3重解）
　　Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x)
　　((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
　　y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
　　　 = 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
　　　 = (x^5/12)e^(-2x)
　　y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
　　y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解
　　y(0) = A = 0
　　y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
　　y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
　　　　　+ B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x)
　　　　　+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
　　y'(0) = B = 5
　　y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
　　　　　+ 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x)
　　　　　+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
　　y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) )
　　　　　+ (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) )
　　　　　+ (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x)
　　　　　- ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) )
　　y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4
　　C = 12

∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/966

976: １３２人目の素数さん [] 2025/10/05(日) 00:21:30.46 ID:RAyhnXPg

y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
　　y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4

∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/976

977: １３２人目の素数さん [] 2025/10/05(日) 00:23:24.45 ID:RAyhnXPg

y''(t) - 4y'(t) + 4y(t) = 6te^(2t), y(0) = 2, y'(0) = 4

L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 2s - 4.
　　L[4y'(t)] = 4( sY(s) - y(0) ) = 4sY(s) - 8.
　　L[4y(t)] = 4Y(s).
　　L[6te^(2t)] = 6/(s-2)^2.

s^2Y(s) - 2s - 4 - (4sY(s) - 8) + 4Y(s)
　= Y(s)( s^2 - 4s + 4) - 2s + 4 = 6/(s-2)^2.
　　Y(s)(s-2)^2 = 2s - 4 + 6/(s-2)^2 = 2(s-2) + 6/(s-2)^2.
　　Y(s) = 2/(s-2) + 6/(s-2)^4.

Y(s) = F(s-2) とおくと
　　L^(-1)[F(s-2)] = e^(2t)L^(-1)[F(s)]
　　　　　　　　　 = e^(2t)L^(-1)[2/s + 6/s^(3+1)]
　　　　　　　　　 = e^(2t)(2 + 6t^3/3!)
　　　　　　　　　 = e^(2t)(2 + t^3)
------------------------------------------
　　k^2 -4k + 4 = (k-2)^2 = 0.　 k = 2.
　　y''(t) - 4'y(t) + 4y(t) = 0
　　y0 = C1e^(2t) + C2te^(2t).
　　y1 = 1/(D-2)^2*6te^(2t)
　　　 = 1/(D-2)( 1/(D-2)*6te^(2t) )
　　　 = 1/(D-2)( e^(2t)(1/D)6t )
　　　 = 1/(D-2)( e^(2t)3t^2 )
　　　 = e^(2t)(1/D)3t^2
　　　 = e^(2t)*t^3
　　y(t) = C1e^(2t) + C2te^(2t) + e^(2t)*t^3.
　　y(0) = C1 = 2.
　　y'(t) = C1*2e^(2t) + C2( e^(2t) + t*2e^(2t) ) + 2e^(2t)*t^3 + e^(2t)*3t^2
　　y'(0) = 2*2 + C2 = 4.　 C2 = 0.
　　y~(t) = 2e^(2t) + e^(2t)･t^3.
　　　　　= e^(2t)(2 + t^3)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/977

979: １３２人目の素数さん [] 2025/10/05(日) 00:27:19.95 ID:RAyhnXPg

tan z = (sin z)/(cos z),
lim[z→π/2] (z - π/2)^1 tan z
= lim[z→π/2] (sin z)/{ cos z - cos(π/2))/(z - π/2) }
= sin(π/2)/cos’(π/2)
= sin(π/2)/{ -sin(π/2) }
= -1.
tan z = Σ[k=-1→∞] (c_k)(x - π/2)^k と書けます。
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。　←[2]
(d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) で、
lim[z→π/2] (d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = c_(m-1) (m！) となります。

c_(-1) = lim[z→π/2] (d/dz)^0 { (z - π/2) tan z }/(0！)
　　　= lim[z→π/2] { (z - π/2) tan z }/1
　　　= -1,
c_0 = lim[z→π/2] (d/dz) { (z - π/2) tan z }/(1！)
　　= lim[z→π/2] { 1tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/1
　　= lim[z→π/2] { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/(cos z)^2
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (sin z)(cos z) + (z - π/2) } }/{ (d/dz) (cos z)^2 }
　　= lim[z→π/2] { cos(2z) + 1 }/{ - sin(2z) }
　　= ( -1 + 1 )/(-1)
　　= 0,
c_1 = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan z }/(2！)
　　= lim[z→π/2] (d/dz) { tan z + (z - π/2)/(cos z)^2　}/2
　　= lim[z→π/2] { 2/(cos z)^2 + (z - π/2)(2 sin z)/(cos z)^3 }/2
　　= lim[z→π/2] { (cos z) + (z - π/2)(sin z) }/(cos z)^3
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos z) + (z - π/2)(sin z) } }/{ (d/dz) (cos z)^3 }
　　= lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos z) }/{ 3 (cos z)^2 (- sin z) }
　　= lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin z)/{ (cos z - 0)/(z - π/2) }
　　= (-1/3)(1/1)/{ -1 }
　　= 1/3.

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