フェルマーの最終定理の証明 (783ﾚｽ)

フェルマーの最終定理の証明 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/

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429: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 06:09:33.80 ID:W1xjBo9V Γ(p)=∫_0^∞??e^(-x) x^(p-1) ? dx, p>0 を 1<c< ∞を満たすcを使って2つの積分 I_1=lim┬(ε→+0)?(∫_ε^1??e^(-x) x^(p-1) ? dx) I_2=lim┬(c→∞)?(∫_1^c??e^(-x) x^(p-1) ? dx) に分割する。 I_1については 0?x?1⇒e^(-x)?1 ∴lim┬(ε→+0)?(∫_ε^1??e^(-x) x^(p-1) ? dx)?lim┬(ε→+0)?(∫_ε^1?x^(p-1) dx) =lim┬(ε→+0) [1/p ?(■( @x^p )@ )]_ε^1=(1^p/p-0^p/p)=1/p I_2については、n>pを満たす正の整数nに対し e^x=1+x/1!+x^2/2!+?+x^n/n!+? x>0⇒e^x?x^n/n! 1/e^x =e^(-x)?n!/x^n =n!x^(-n) ∫_1^c??e^(-x) x^(p-1) ? dx?∫_1^c??n!x^(-n) x^(p-1) ? dx =∫_1^c??n!x^(p-n-1) ? dx=n!∫_1^c?x^(p-n-1) dx?=n!/(p-n) [?(■( @x^(p-n) )@ )]?_1^c =n!/(p-n) (C^(p-n)-1)=n!/(-(p-n) ) (1-C^(-(n-p) ) ) =n!/(n-p) (1-1/C^(n-p) ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/429

430: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 06:10:27.20 ID:W1xjBo9V lim┬(c→∞)?(∫_1^c??e^(-x) x^(p-1) ? dx)?lim┬(c→∞) n!/(n-p) (1-1/C^(n-p) )=n!/(n-p) Γ(p)=∫_0^∞??e^(-x) x^(p-1) ? dx =∫_0^1??e^(-x) x^(p-1) ? dx+lim┬(c→∞)?(∫_1^c??e^(-x) x^(p-1) ? dx)?1/p+n!/(n-p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/430

431: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 06:11:14.95 ID:W1xjBo9V [1] Γ(1)=1 Γ(1)=∫_0^∞??x^(1-1) e^(-x) ? dx=∫_0^∞?e^(-x) dx=lim┬(b→∞)??∫_0^b?e^(-x) dx? =lim┬(b→∞)??[?( @-1/e^x @ )]_0^b ?=lim┬(b→∞)?(?( @-1/e^b -(-1/e^0 )@ ))=1 [2] Γ(1?2)=√π 　ガウス積分∫_0^∞?e^(-x^2 ) dx=√π/2 を利用する。 Γ(1/2)=∫_0^∞??e^(-x) x?^(1/2-1) dx=∫_0^∞??e^(-x) x?^(-1/2) dx=lim┬(b→∞)?lim┬(ε→+0)??∫_ε^b?e^(-x)/√x dx? x=t^2 dx=2tdt x:ε→b⇒t:√ε→√b lim┬(b→∞)?lim┬(ε→+0)??∫_(√ε)^(√b)?e^(-t^2 )/t 2tdt? =2 lim┬(b→∞)?lim┬(ε→+0)??∫_(√ε)^(√b)?e^(-t^2 ) dt? =2∫_0^∞?e^(-t^2 ) dt=2 √π/2=√π http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/431

432: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 06:12:27.69 ID:W1xjBo9V [3] Γ(p+1)=pΓ(p) ∫??x^p e^(-x) ? dx=-∫??(e^(-x) )^' x^p ? dx =-e^(-x) x^p+p∫??e^(-x) x?^(p-1) dx Γ(p+1)=∫_0^∞??x^p e^(-x) ? dx =lim┬(ε→+0)?lim┬(b→∞)??∫_(0+ε)^b??x^p e^(-x) ? dx? =lim┬(ε→+0)?lim┬(b→∞)?([?(■( @-e^(-x) x^p )@ )]_ε^b+p∫_ε^b??e^(-x) x?^(p-1) dx) =lim┬(ε→+0)?lim┬(b→∞)?((-e^(-b) b^p )-(-e^ε ε^p )+p∫_ε^b??e^(-x) x^(p-1) ? dx) =lim┬(ε→+0)?lim┬(b→∞)?(-e^(-b) b^p+e^ε ε^p+p∫_ε^b??e^(-x) x?^(p-1) dx) =lim┬(ε→+0)?lim┬(b→∞)?(-e^(-b) b^p+e^ε ε^p ) +lim┬(ε→+0)?lim┬(b→∞)?(p∫_ε^b??e^(-x) x?^(p-1) dx) =lim┬(b→∞)?(-e^(-b) b^p )+lim┬(ε→+0) (e^ε ε^p )+pΓ(p) lim┬(ε→+0) (e^(-ε) ε^p )=lim┬(ε→+0) (ε^p/e^ε )=0 lim┬(b→∞)?(e^(-b) b^p )=lim┬(b→∞) (b^p/e^b )??? 　もし、0<p?1ならば?は lim┬(b→∞) (b^(p-1)/e^b )= lim┬(b→∞) (1/(e^b b^(1-p) ))=0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/432

433: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 06:13:43.58 ID:W1xjBo9V lim┬(b→∞) (b^p/e^p )=lim┬(b→∞) ((pb^(p-1))/e^p )=lim┬(b→∞) ((p(p-1) b^(p-2))/e^p )=? =lim┬(b→∞) ((p(p-1)(p-2)?(p-(m-1)) b^(p-m))/e^p ) p-m?0なので lim┬(b→∞) (b^p/e^p )=lim┬(b→∞) ((p(p-1)(p-2)?(p-m+1))/(e^p b^(m-p) ))=0 したがって Γ(p+1)=lim┬(ε→+0)?lim┬(b→∞)?(-b^p e^(-p)+ε^p e^(-ε)+p∫_ε^b??x^(p-1) e^(-x) ? dx) =lim┬(b→∞)?(-b^p/e^p )+lim┬(ε→+0) ε^p e^(-ε)+p∫_0^∞??x^(p-1) e^(-x) ? dx =0+0+pΓ(p)=pΓ(p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/433

434: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 06:15:57.20 ID:W1xjBo9V L[cos(at)]=∫_0^∞??e^(-st) cos(at) ? dt=lim┬(b→∞)??∫_0^b??e^(-st) cos(at) ? dt? ∫??e^ax cos(bx) ? dx=∫??e^ax/(a^2+b^2 ) acos(bx)+bsin(bx) ? dx lim┬(b→∞)??∫_0^b??e^(-st) cos(at) ? dt? =lim┬(b→∞)??[e^(-st)/(s^2+a^2 ) (?( @?-scos??(at)+asin(at)@ ))]_0^b ? =lim┬(b→∞)?(e^(-sb)/(s^2+a^2 ) (asin?(ab)-scos(ab))-1/(s^2+a^2 ) (-s)) =e^(-sb)/(s^2+a^2 ) lim┬(b→∞)?(asin?(ab)-scos(ab))+s/(s^2+a^2 ) =1/(s^2+a^2 ) lim┬(b→∞)?((asin?(ab)-scos(ab))/e^sb )+s/(s^2+a^2 ) Asin?(ab)-Bcos(ab)=√(A^2+B^2 ) sin(ab-θ) |(asin?(ab)-scos(ab))/e^sb |=(√(s^2+a^2 ) |sin(ab-θ)|)/e^sb ?√(s^2+a^2 )/e^sb lim┬(b→∞)?((asin?(ab)-scos(ab))/e^sb )=0 ∴L[cos(at)]=s/(s^2+a^2 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/434

435: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 06:17:01.83 ID:W1xjBo9V |sinh(at)|=|(e^at-e^(-at))/2|?(|e^at |+|e^(-at) |)/2=(e^at+e^(-at))/2??2e?^|a|t/2=1?e^|a|t L[sinh(at)]=∫_0^∞??e^(-st) sinh(at) ? dt =lim┬(b→∞)??∫_0^b??e^(-st) (e^at-e^(-at))/2? dt? =1/2 lim┬(b→∞)??∫_0^b??e^(-(s-a)t)-e^(-(s+a)t) ? dt? 1/2 lim┬(b→∞)??∫_0^b??e^(-(s-a)t)-e^(-(s+a)t) ? dt? =1/2 lim┬(b→∞)??[-1/(s-a) e^(-(s-a)t)+1/(s+a) e^(-(s+a)t) ]_0^b ? =1/2 lim┬(b→∞)?((?( @-1/(s-a) e^(-(s-a)b)+1/(s+a) e^(-(s+a)b)@ ))-(-1/(s-a)+1/(s+a))) =1/2 (1/(s-a)-1/(s+a))=1/2 (s+a-(s-a))/(s^2-a^2 )=a/(s^2-a^2 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/435

436: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 11:08:32.42 ID:W1xjBo9V 任意の自然数nに対しn<P?2nを満たす素数Pが存在する。(#15) 　nより大きく2 n以下の素数積Qについて Q? √(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) ) (x=√2n, n?5) ･････(#12) が成り立つ。したがって、もし Q>1ならば(#15) が成り立つ。 x=e^logx 2=e^log2 なので 2^(2x^2+15) = ?(e^log2)?^(2x^2+15)=e^((2x^2+15)log2) x^(4x+30)=?(e^logx)?^(4x+30)=e^((4x+30)logx) 　ここで (2x^2+15)log2 >(4x+30)logx (x?12) ･････(#14) を使うと 2^(2x^2+15)/x^(4x+30) =e^((2x^2+15)log2)/e^((4x+30)logx) =e^((2x^2+15)log2-(4x+30)logx)>e^0 √(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) )>√(e^0 )=1 　したがって x=√2n?12 、つまりn?72 のとき(#15)は成り立つ。 37?n?71⇒n?73?2n 19?n?36⇒n?37?2n 10?n?18⇒n?19?2n 6?n?9⇒n?11?2n n=4,5⇒n?7?2n n=3⇒3?6?6 n=2⇒2?3?4 n=1⇒1?2?2 　したがって 1?n?71 のとき(#15)は成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/436

437: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 11:09:23.04 ID:W1xjBo9V log2>2/3 , log2<7/6 は既知とする。 f(x)=(2x^2+15)log2-(4x+30)logx とおいたとき x?12⇒f(x)>0 であることを証明すればよい。 f^' (x)= log2?4x-(4 logx-(4x+30)/x) = log2?4x-4 logx+4-30/x f^'' (x)=4 log2-4/x+30/x^2 4 log2>4 2/3>3 2/3=2 なので f^'' (x)>2-4/x+30/x^2 =(2x^2-4x+30)/x^2 =2 (x^2-2x+15)/x^2 =2 ((x-1)^2+14)/x^2 >0 したがってf^' (x)は単調増加である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/437

443: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 21:09:22.43 ID:W1xjBo9V r(t)=(acos(t), asin(t), ct) r ?(t)=(-asin(t), acos(t), c) ds/dt=?dr/dt?=√(a^2 ?sin?^2 (t)+a^2 ?cos?^2 (t)+c^2 )=√(a^2+c^2 ) dt/ds=1/√(a^2+c^2 ) t=dr/ds=dr/dt?dt/ds=1/√(a^2+c^2 ) (-asin?(t), acos?(t), c) t^' (s)=dt/ds=dt/dt?dt/ds=1/√(a^2+c^2 ) (-acos?(t), ?-asin??(t), 0) 1/√(a^2+c^2 ) =1/(a^2+c^2 ) (-acos?(t), ?-asin??(t), 0) κ= ?t^' (s)?=√((1/(a^2+c^2 ))^2 a^2 )=a/(a^2+c^2 ) t^' (s)=κn より n=(t^' (s))/κ=(a^2+c^2)/a 1/(a^2+c^2 ) (-acos?(t), ?-asin??(t), 0) =(-cos?(t), ?-sin??(t), 0) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/443

444: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 21:10:51.46 ID:W1xjBo9V b=t×n=1/√(a^2+c^2 ) (■(-asin?(t)@acos?(t)@c))×(■(-cos?(t)@?-sin??(t)@0)) ※外積のスカラー倍 =1/√(a^2+c^2 ) |■(i&j&k@-asin?(t)&acos?(t)&c@-cos?(t)&-sin?(t)&0)| =1/√(a^2+c^2 ) (|■(acos?(t)&c@-sin?(t)&0)|,|■(c&-asin?(t)@0&-cos?(t) )|,|■(-asin?(t)&acos?(t)@-cos?(t)&-sin?(t) )|) =1/√(a^2+c^2 ) (csin?(t), -?c?cos??(t), a) b^' (s)=db/ds=db/dt?dt/ds=1/√(a^2+c^2 ) (?c?cos??(t), csin?(t), 0) 1/√(a^2+c^2 ) =1/(a^2+c^2 ) (?c?cos??(t), csin?(t), 0) b^' (s)=-τn より 1/(a^2+c^2 ) (?c?cos??(t), csin?(t), 0)=-τ(-cos?(t), ?-sin??(t), 0) =τ(cos?(t), sin?(t), 0) 1/(a^2+c^2 ) ?c?cos??(t)=τ cos?(t) τ=c/(a^2+c^2 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/444

445: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 21:11:51.56 ID:W1xjBo9V ?r=r(t+?t)-r(t). ??r?=?s ?R?θ. R??s/?θ, ?x→0??s→0 1/R=(lim)┬(?x→0)???θ/?s?=dθ/ds ?s=√(??x?^2+??y?^2 )=√((??x?^2+??y?^2)/??x?^2 ??x?^2 )=√(1+(?y/?x)^2 ) ?x 　θ。β=θ+?θとおくと tan(?θ)= tan(β-θ)=(tanβ-tanθ)/(1+tanβtanθ)=(y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x)) 　?θは微小なので ?θ?tan(?θ)=(y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x)) ?θ/?s=((y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x)))/(√(1+(?y/?x)^2 ) ?x)=1/√(1+(?y/?x)^2 )?1/?x?(y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x)) =1/√(1+(?y/?x)^2 )?(y'(x+?x)-y'(x))/?x?1/(1+y'(x+?x)y'(x)) 1/R=dθ/ds=(lim)┬(?x→0)???θ/?s?=1/√(1+(dy/dx)^2 ) (d^2 y)/(dx^2 ) 1/(1+(dy/dx)^2 )=((d^2 y)/(dx^2 ))/(1+(dy/dx)^2 )^(3/2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/445

446: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 21:13:25.35 ID:W1xjBo9V C:x=x(t),y=y(t) (OP) ?=r(t)=(x(t),y(t)) (OQ) ?=r(t+?t)=(x(t+?t),y(t+?t)) ?s=??r?=?r(t+?t)-r(t)? R?θ??s,1/R=?θ/?s 1/R=lim┬(?t→0)???θ/?s?=dθ/(ds) dr/dt=r ?(t) r ?(t)=(x ?(t),y ?(t)) r ?(t+?t)=(x ?(t+?t),y ?(t+?t)) r ?(t)=r ?=(x ?,y ?) r ?(t+?t)= r ?_Q=(x ?_Q,y ?_Q) ?r ? ??r ?_Q ?sin?θ=det(r ?,r ?_Q) ?θ?sin?θ=(det(r ?,r ?_Q))/?r ? ??r ?_Q ? det(r ?,r ?_Q)=|■(x ?&(x_q ) ?@y ?&(y_q ) ? )|=x ?(y_q ) ?-(x_q ) ?(y=) ?x ?(y_q ) ?-x ?y ?+x ?y ?-(x_q ) ?y ? =x ?(y ?(t+?t)-y ?(t))-y ?(x ?(t+?t)-x ?(t)) ?r ? ??r ?_Q ?=√(x ?^2+y ?^2 ) √((x_q ) ?^2+(y_q ) ?^2 ) =√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 ). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/446

447: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 21:14:18.63 ID:W1xjBo9V ?θ/?s=(x ?(y ?(t+?t)-y ?(t))-y ?(x ?(t+?t)-x ?(t)))/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 )) 1/?r(t+?t)-r(t)? =((x ?(y ?(t+?t)-y ?(t))-y ?(x ?(t+?t)-x ?(t)))/?t)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 )) ?t?r(t+?t)-r(t)?^(-1) =(x ? ((y ?(t+?t)-y ?(t)))/?t-y ? ((x ?(t+?t)-x ?(t)))/?t)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 )) ?(r(t+?t)-r(t))/?t?^(-1) 1/R=(lim)┬(?t→0)???θ/?s?=(x ?y ?-yx ?)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(x ?^2+y ?^2 )) ? ?r ? ??^(-1) =(x ?y ?-yx ?)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(x ?^2+y ?^2 ) √(x ?^2+y ?^2 )) =(x ?y ?-yx ?)/(x ?^2+y ?^2 )^(3/2) R=(x ?^2+y ?^2 )^(3/2)/(x ?y ?-yx ? ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/447

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