フェルマーの最終定理の証明 (783ﾚｽ)
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429: 07/21(月)06:09 ID:W1xjBo9V(1/14) AA×
>>0>>0
430: 07/21(月)06:10 ID:W1xjBo9V(2/14) AAS
lim┬(c→∞)?(∫_1^c??e^(-x) x^(p-1) ? dx)?lim┬(c→∞) n!/(n-p) (1-1/C^(n-p) )=n!/(n-p)
Γ(p)=∫_0^∞??e^(-x) x^(p-1) ? dx
=∫_0^1??e^(-x) x^(p-1) ? dx+lim┬(c→∞)?(∫_1^c??e^(-x) x^(p-1) ? dx)?1/p+n!/(n-p)
431: 07/21(月)06:11 ID:W1xjBo9V(3/14) AA×
432: 07/21(月)06:12 ID:W1xjBo9V(4/14) AA×
433: 07/21(月)06:13 ID:W1xjBo9V(5/14) AA×
434: 07/21(月)06:15 ID:W1xjBo9V(6/14) AA×
435: 07/21(月)06:17 ID:W1xjBo9V(7/14) AA×
436: 07/21(月)11:08 ID:W1xjBo9V(8/14) AAS
任意の自然数nに対しn<P?2nを満たす素数Pが存在する。(#15)
nより大きく2 n以下の素数積Qについて
Q? √(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) ) (x=√2n, n?5) ･････(#12)
が成り立つ。したがって、もし Q>1ならば(#15) が成り立つ。
x=e^logx 2=e^log2
なので
2^(2x^2+15) = ?(e^log2)?^(2x^2+15)=e^((2x^2+15)log2)
x^(4x+30)=?(e^logx)?^(4x+30)=e^((4x+30)logx)
ここで
(2x^2+15)log2 >(4x+30)logx (x?12) ･････(#14)
を使うと
2^(2x^2+15)/x^(4x+30) =e^((2x^2+15)log2)/e^((4x+30)logx) =e^((2x^2+15)log2-(4x+30)logx)>e^0
√(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) )>√(e^0 )=1
したがって
x=√2n?12 、つまりn?72
のとき(#15)は成り立つ。
37?n?71⇒n?73?2n
19?n?36⇒n?37?2n
10?n?18⇒n?19?2n
6?n?9⇒n?11?2n
n=4,5⇒n?7?2n
n=3⇒3?6?6
n=2⇒2?3?4
n=1⇒1?2?2
したがって 1?n?71 のとき(#15)は成り立つ。
437: 07/21(月)11:09 ID:W1xjBo9V(9/14) AAS
log2>2/3 , log2<7/6
は既知とする。
f(x)=(2x^2+15)log2-(4x+30)logx
とおいたとき
x?12⇒f(x)>0
であることを証明すればよい。
f^' (x)= log2?4x-(4 logx-(4x+30)/x)
= log2?4x-4 logx+4-30/x
f^'' (x)=4 log2-4/x+30/x^2
4 log2>4 2/3>3 2/3=2
なので
f^'' (x)>2-4/x+30/x^2
=(2x^2-4x+30)/x^2 =2 (x^2-2x+15)/x^2 =2 ((x-1)^2+14)/x^2 >0
したがってf^' (x)は単調増加である。
443: 07/21(月)21:09 ID:W1xjBo9V(10/14) AAS
r(t)=(acos(t), asin(t), ct)
r ?(t)=(-asin(t), acos(t), c)
ds/dt=?dr/dt?=√(a^2 ?sin?^2 (t)+a^2 ?cos?^2 (t)+c^2 )=√(a^2+c^2 )
dt/ds=1/√(a^2+c^2 )
t=dr/ds=dr/dt?dt/ds=1/√(a^2+c^2 ) (-asin?(t), acos?(t), c)
t^' (s)=dt/ds=dt/dt?dt/ds=1/√(a^2+c^2 ) (-acos?(t), ?-asin??(t), 0) 1/√(a^2+c^2 )
=1/(a^2+c^2 ) (-acos?(t), ?-asin??(t), 0)
κ= ?t^' (s)?=√((1/(a^2+c^2 ))^2 a^2 )=a/(a^2+c^2 )
t^' (s)=κn より
n=(t^' (s))/κ=(a^2+c^2)/a 1/(a^2+c^2 ) (-acos?(t), ?-asin??(t), 0)
=(-cos?(t), ?-sin??(t), 0)
444: 07/21(月)21:10 ID:W1xjBo9V(11/14) AAS
b=t×n=1/√(a^2+c^2 ) (■(-asin?(t)@acos?(t)@c))×(■(-cos?(t)@?-sin??(t)@0)) ※外積のスカラー倍
=1/√(a^2+c^2 ) |■(i&j&k@-asin?(t)&acos?(t)&c@-cos?(t)&-sin?(t)&0)|
=1/√(a^2+c^2 ) (|■(acos?(t)&c@-sin?(t)&0)|,|■(c&-asin?(t)@0&-cos?(t) )|,|■(-asin?(t)&acos?(t)@-cos?(t)&-sin?(t) )|)
=1/√(a^2+c^2 ) (csin?(t), -?c?cos??(t), a)
b^' (s)=db/ds=db/dt?dt/ds=1/√(a^2+c^2 ) (?c?cos??(t), csin?(t), 0) 1/√(a^2+c^2 )
=1/(a^2+c^2 ) (?c?cos??(t), csin?(t), 0)
b^' (s)=-τn より
1/(a^2+c^2 ) (?c?cos??(t), csin?(t), 0)=-τ(-cos?(t), ?-sin??(t), 0)
=τ(cos?(t), sin?(t), 0)
1/(a^2+c^2 ) ?c?cos??(t)=τ cos?(t)
τ=c/(a^2+c^2 )
445: 07/21(月)21:11 ID:W1xjBo9V(12/14) AAS
?r=r(t+?t)-r(t). ??r?=?s ?R?θ.
R??s/?θ, ?x→0??s→0
1/R=(lim)┬(?x→0)???θ/?s?=dθ/ds
?s=√(??x?^2+??y?^2 )=√((??x?^2+??y?^2)/??x?^2 ??x?^2 )=√(1+(?y/?x)^2 ) ?x
θ。β=θ+?θとおくと
tan(?θ)= tan(β-θ)=(tanβ-tanθ)/(1+tanβtanθ)=(y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x))
?θは微小なので
?θ?tan(?θ)=(y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x))
?θ/?s=((y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x)))/(√(1+(?y/?x)^2 ) ?x)=1/√(1+(?y/?x)^2 )?1/?x?(y'(x+?x)-y'(x))/(1+y'(x+?x)y'(x))
=1/√(1+(?y/?x)^2 )?(y'(x+?x)-y'(x))/?x?1/(1+y'(x+?x)y'(x))
1/R=dθ/ds=(lim)┬(?x→0)???θ/?s?=1/√(1+(dy/dx)^2 ) (d^2 y)/(dx^2 ) 1/(1+(dy/dx)^2 )=((d^2 y)/(dx^2 ))/(1+(dy/dx)^2 )^(3/2)
446: 07/21(月)21:13 ID:W1xjBo9V(13/14) AAS
C:x=x(t),y=y(t)
(OP) ?=r(t)=(x(t),y(t))
(OQ) ?=r(t+?t)=(x(t+?t),y(t+?t))
?s=??r?=?r(t+?t)-r(t)?
R?θ??s,1/R=?θ/?s
1/R=lim┬(?t→0)???θ/?s?=dθ/(ds)
dr/dt=r ?(t)
r ?(t)=(x ?(t),y ?(t))
r ?(t+?t)=(x ?(t+?t),y ?(t+?t))
r ?(t)=r ?=(x ?,y ?)
r ?(t+?t)= r ?_Q=(x ?_Q,y ?_Q)
?r ? ??r ?_Q ?sin?θ=det(r ?,r ?_Q)
?θ?sin?θ=(det(r ?,r ?_Q))/?r ? ??r ?_Q ?
det(r ?,r ?_Q)=|■(x ?&(x_q ) ?@y ?&(y_q ) ? )|=x ?(y_q ) ?-(x_q ) ?(y=) ?x ?(y_q ) ?-x ?y ?+x ?y ?-(x_q ) ?y ?
=x ?(y ?(t+?t)-y ?(t))-y ?(x ?(t+?t)-x ?(t))
?r ? ??r ?_Q ?=√(x ?^2+y ?^2 ) √((x_q ) ?^2+(y_q ) ?^2 )
=√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 ).
447: 07/21(月)21:14 ID:W1xjBo9V(14/14) AAS
?θ/?s=(x ?(y ?(t+?t)-y ?(t))-y ?(x ?(t+?t)-x ?(t)))/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 )) 1/?r(t+?t)-r(t)?
=((x ?(y ?(t+?t)-y ?(t))-y ?(x ?(t+?t)-x ?(t)))/?t)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 )) ?t?r(t+?t)-r(t)?^(-1)
=(x ? ((y ?(t+?t)-y ?(t)))/?t-y ? ((x ?(t+?t)-x ?(t)))/?t)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(?(x ?(t+?t))?^2+?(y ?(t+?t))?^2 )) ?(r(t+?t)-r(t))/?t?^(-1)
1/R=(lim)┬(?t→0)???θ/?s?=(x ?y ?-yx ?)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(x ?^2+y ?^2 )) ? ?r ? ??^(-1)
=(x ?y ?-yx ?)/(√(x ?^2+y ?^2 ) √(x ?^2+y ?^2 ) √(x ?^2+y ?^2 ))
=(x ?y ?-yx ?)/(x ?^2+y ?^2 )^(3/2)
R=(x ?^2+y ?^2 )^(3/2)/(x ?y ?-yx ? )
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