フェルマーの最終定理の証明 (707ﾚｽ)
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416: 07/19(土)07:23 ID:IuvwCE17(1/3) AAS
∂u/∂t=(∂u^2)/(∂x^2 ) (0<x<1, t>0)
u_x (0,t)=u_x (1,t)=0 境界条件（断熱条件）
u(x,0)=δ(x-1/2) 初期条件

u(x,t)=X(x)T(t)
∂u/∂t=XT^'
∂u/∂x=TX^' (∂u^2)/(∂x^2 )=∂/∂x TX^'=TX^''
XT^'= TX^'' T^'/T=X^''/X
(T^' (t))/T(t) =(X^'' (x))/X(x)
T^'/T=X^''/X=μ
X^''/X=μ X^''-μX=0 ……?
T^'/T=μ T^'=μT ……?

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417: 07/19(土)07:24 ID:IuvwCE17(2/3) AAS
λ^2+aλ+b=0

(?@)μ>0のときλ=±√μなので
X= C_1 e^(√μ x)+C_2 e^(-√μ x)
X^'= C_1 √μ e^(√μ x)-C_2 √μ e^(-√μ x)
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
u_x (0,t)=X^' (0)= C_1 √μ e^0-C_2 √μ e^0=(C_1-C_2 ) √μ=0
μ>0なので
C_1-C_2=0 C_1=C_2
u_x (1,t)=X^' (1)= C_1 √μ e^√μ-C_2 √μ e^(-√μ)=(C_1 e^√μ-C_2 e^(-√μ) ) √μ=0
C_1=C_2なので
(C_1 e^√μ-C_1 e^(-√μ) ) √μ= C_1 (e^√μ-e^(-√μ) ) √μ=0
μ>0、e^√μ-e^(-√μ)≠0なのでC_1=C_2=0
（※e^√μ=e^(-√μ)となるのはμ=0のときだけ）
したがって
X(x)=0 ∴u(x,t)=X(x)T(t)=0

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418: 07/19(土)07:26 ID:IuvwCE17(3/3) AAS
(?A)μ=0のとき重解なので
X= C_1 e^0x+C_2 xe^0x=C_1+C_2 x
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
X^' (0)=X^' (1)= C_2=0
X=C_1
X= C_1+C_2 x
(?B)
λ^2-μ=0 λ=0±i√(-μ)
X^''+ω^2 X=0
λ^2+ω^2=0 λ=0±iω
X=e^0x (C_1 cos?(ωx)+C_2 sin?(ωx) )
=C_1 cos(ωx)+C_2 sin(ωx)
X^'=-C_1 ω sin?(ωx)+C_2 ω cos?(ωx)
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
X^' (0)= C_2 ω=0
X^' (1)=-C_1 ω sin?(ω)+C_2 ω cos?(ω)=-C_1 ω sin?(ω)=0
C_1≠0 ∴C_1 ω≠0 (ω>0)
sin?(ω)=0 ∴ω=kπ (k=1,2,3,?)

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