フェルマーの最終定理の証明 (774ﾚｽ)
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625: 08/13(水)00:03 ID:FVxIyWTC(1/6) AAS
∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)
t=(β-α)x+α dt=(β-α)dx dx=dt/(β-α)
x:0→1 t:α→β
x=(t-α)/(β-α) 1-x=(β-α-(t-α))/(β-α)=(β-t)/(β-α)
∫_0^1?x^m (1-x)^n dx
=∫_α^β??((t-α)/(β-α))^m ((β-t)/(β-α))^n ? dt/(β-α)=∫_α^β?((t-α)^m (β-t)^m)/(β-α)^(m+n+1) dt
=1/(β-α)^(m+n+1) ∫_α^β??(t-α)^m (β-t)^m ? dt=m!n!/(m+n+1)!
∴∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)
m=1,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β?(x-α)(β-x) dx
=-1/6 (β-α)^3
m=2,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β??(x-α)^2 (β-x) ? dx
=-1/12 (β-α)^4
m=2,n=2⇒∫_α^β??(x-α)^2 (x-β)^2 ? dx=∫_α^β??(x-α)^2 (β-x)^2 ? dx
=(2?2)/(5?4?3?2?1) (β-α)^5=1/30 (β-α)^5
626: 08/13(水)04:35 ID:FVxIyWTC(2/6) AAS
(∂/∂x+a ∂/∂y)f(x,y)=g(x,y)
f(x,y)=X(x)Y(y)
(∂/∂x+a ∂/∂y)X(x)Y(y)=∂/∂x X(x)Y(y)+a ∂/∂y X(x)Y(y)
∂/∂x X(x)Y(y)+a ∂/∂y X(x)Y(y)=d/dx X(x)Y(y)+a d/dy X(x)Y(y)
(∂/∂x+a ∂/∂y)f(x,y)=0???
(d/dx+a d/dy)XY=d/dx XY+a d/dy XY=0
d/dx XY=-a d/dy XY
( d/dx X)/X=-a ( d/dy Y)/Y
( d/dx X)/X=-a ( d/dy Y)/Y=μ
( d/dx X)/X=μ dX/dx=μX ∫?1/X dX=∫?μ dx
log|X|=μx+C X(x)=C_1 e^μx
( d/dy Y)/Y=-μ/a dY/dy=-μ/a Y ∫?1/Y dY=-∫?μ/a dy
log|Y|=-μ/a y+C Y(y)=C_2 e^(-μ/a y)
∴f(x,y)=X(x)Y(y)=C_1 C_2 e^μx e^(-μ/a y)=C_1 C_2 e^(μ/a (ax-y) )
627: 08/13(水)04:35 ID:FVxIyWTC(3/6) AAS
M(θ)=E[e^θX ]=∫_(-∞)^∞??e^θx f(x)dx?
M(θ)=E[e^θX ]=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞??e^θx e^(-(x-μ)^2/(2σ^2 )) ? dx=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^(θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )) dx
θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )=1/(2σ^2 ) (2σ^2 θx-(x-μ)^2 )=-1/(2σ^2 ) (? (x-μ)?^2-2σ^2 θx )
=-1/(2σ^2 ) (? x?^2+μ^2-2μx-2σ^2 θx )
=-1/(2σ^2 ) (? x?^2-2(μ+σ^2 θ)x+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(μ+σ^2 θ)^2+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(μ^2+2μσ^2 θ+σ^4 θ^2 )+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(2μσ^2 θ+σ^4 θ^2 ) )
=-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )+μθ+(σ^2 θ^2)/2
M(θ)=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^(θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )) dx
=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^((-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )+μθ+(σ^2 θ^2)/2) ) dx
=1/(√2π σ) e^(μθ+(σ^2 θ^2)/2) ∫_(-∞)^∞?e^((-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )) ) dx
t=(x-(μ+σ^2 θ))/(√2 σ) x=√2 σt+μ+σ^2 θ dx=√2 σdt
(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )=((x-(μ+σ^2 θ))/(√2 σ))^2=t^2
-∞<x?∞ ⇒-∞<t?∞
628: 08/13(水)10:58 ID:FVxIyWTC(4/6) AAS
y^''+3y^'+2y=x
(D^2+3D+2)y=x
D^2+3D+2=(D+2)(D+1)=0 D=-2, D=-1
y_0=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x)
(D+2)(D+1) y_s=x
となるようなy_s を求める。
y_s=1/(D+2)(D+1) x=1/((D+2) ) 1/((D+1) ) x
=1/((D+2) ) 1/((D-(-1)) ) x=1/(D+2) e^(-x) 1/D e^x x
=1/(D+2) e^(-x) ∫▒〖e^x x〗 dx=1/(D+2) e^(-x) (e^x x-∫▒e^x dx) (e^x )^'=e^x
=1/(D+2) e^(-x) (xe^x-e^x )=1/(D+2) (x-1)
=1/((D-(-2)) ) x-1/((D-(-2)) )=e^(-2x) 1/D e^2x x-e^(-2x) 1/D e^2x
=e^(-2x) (∫▒〖(1/2 e^2x )^' x〗 dx)-e^(-2x) 1/2 e^2x
=e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/2 ∫▒e^2x dx)-1/2
=e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/4 e^2x )-1/2=1/2 x-1/4-1/2=1/2 x-3/4
∴y=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x)+1/2 x-3/4
629: 08/13(水)12:31 ID:FVxIyWTC(5/6) AAS
x^2n - 4x^8 + Ax + B が x^2-x+1 で割り切れるA、Bを求める。
P(x) = x^2n - 4x^8 + Ax + B
とおく。P(x) は x^2-x+1 で割り切れるのだから
P(x) = Q(x)(x^2-x+1)
を満たすQ(x)が存在する。
x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)
x^2-x+1 = 0 の解をωとする。
P(ω) = ω^2n - 4ω^8 + Aω + B = 0
ω^2-ω+1 = 0, ω^2 = ω-1
ω^3+1 = 0, ω^3 = -1
ω^6 = ω^3ω^3 = 1
ω^4 = ω^3ω = -ω
ω^2n-4ω^2ω^6+Aω+B
= ω^2n-4(ω-1)+Aω+B
= ω^2n+B+4+(A-4)ω = 0
n = 3k⇒ω^2n = ω^6k = 1
ω^2n+B+4+(A-4)ω = 1+B+4+(A-4)ω = 0
∴A = 4,B = -5
n = 3k+1⇒ω^2n = ω^(6k+2) = ω^2 = ω-1
ω^2n+B+4+(A-4)ω = ω-1+B+4+(A-4)ω = 0
= B+3+(A-3)ω = 0
∴A = 3,B = -3
n = 3k+2⇒ω^2n = ω^(6k+4) = ω^4 = -ω
ω^2n+B+4+(A-4)ω = -ω+B+4+(A-4)ω = 0
= B+4+(A-5)ω = 0
∴A = 5,B = -4
630: 08/13(水)12:39 ID:FVxIyWTC(6/6) AAS
仕入れ値が3000円の品物50個に、5割の利益を見込んで定価をつけ、定価で5個売り、定価の1割引きの特価品として20個売った。売れ残った品物はさらに値引きし、大特価品として売ろうと思う。それでも売れ残った品物は1個あたり500円支払って処分しなければならない。
(1)処分した品物が5個で、利益が14000円のとき、大特価品は定価の何割引きになるか。
(2)大特価品を定価の2割引きで売るとき、損をしないためには最低何個売ればよいか。
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