フェルマーの最終定理の証明

フェルマーの最終定理の証明 (783ﾚｽ)
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395: １３２人目の素数さん [] 2025/07/18(金) 07:31:37.93 ID:QNG/Z1cz

同様にして
v(x+?x,y+?y)-v(x,y)
=(v_x (x,y)+k_1 )?x+(v_y (x,y)+k_2 )?y???
(?x→0,?y→0⇒k_1→0,k_2→0)
　?、?より
f(z+?z)-f(z)
=u(x+?x,y+?y)-u(x,y)+ i{v(x+?x,y+?y)-v(x,y)}
=(u_x (x,y)+h_1 )?x+(u_y (x,y)+h_2 )?y+i{(v_x (x,y)+k_1 )?x+(v_y (x,y)+k_2 )?y}
=u_x ?x+h_1 ?x+u_y ?y+h_2 ?y+i{v_x ?x+k_1 ?x+v_y ?y+k_2 ?y}
=u_x ?x+u_y ?y+i?v_x ?x+iv_y ?y+h?_1 ?x+h_2 ?y+ik_1 ?x+ik_2 ?y
　ここで?=h_1 ?x+h_2 ?y+ik_1 ?x+ik_2 ?yとおくと
=u_x ?x-v_x ?y+iv_x ?x+iu_x ?y+?        (u_x=v_y  ,   v_x=-u_y )
=u_x (?x+i?y)+iv_x (?x+i?y)+?        (iv_x i?y=-v_x ?y)
=u_x ?z+iv_x ?z+?
f(z+?z)-f(z)=u_x ?z+iv_x ?z+?
(lim)┬(?z→0)??(f(z+?z)-f(z))/?z?=(lim)┬(?z→0)?(u_x+iv_x+?/?z)
ここで
?z→0⇔?x→0かつ?y→0
のとき
h_1→0,h_2→0かつ k_1→0,k_2→0
であり、
|?z|^2=|?x|^2+|?y|^2  より | ?x/?z|?1,   |?y/?z|?1
であるから
(lim)┬(?z→0)?|?/?z|=(lim)┬(?z→0)?|(h_1 ?x+h_2 ?y+ik_1 ?x+ik_2 ?y)/?z|
=(lim)┬(?z→0)?|((h_1+ik_1 )?x+(h_2+ik_2 )?y)/?z|
?(lim)┬(?z→0)?(|h_1+ik_1 ||?x/?z|+|h_1+ik_1 ||?x/?z|)=0
　したがって
(lim)┬(?z→0)??(f(z+?z)-f(z))/?z?=(lim)┬(?z→0)?(u_x+iv_x+?/?z)=u_x+iv_x

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/395

700: １３２人目の素数さん [] 2025/08/22(金) 11:01:45.93 ID:aTp7UHTZ

f(z)=1/(1-z) z=i で展開
?@) |z-i|<√2
(1-i)(1-(z-i)/(1-i))=1-i+(1-i) (z-i)/(1-i)
1/(1-z)=1/(1-i-(z-i) )=1/(1-i)?1/(1-(z-i)/(1-i))
=1/(1-i) (1+((z-i)/(1-i))+((z-i)/(1-i))^2+((z-i)/(1-i))^3+?)
=(z-i)^0/(1-i)+(z-i)^1/(1-i)^2 +(z-i)^2/(1-i)^3 +?
=((1+i) (z-i)^0)/2+((1+i)^2 (z-i)^1)/2^2 +((1+i)^3 (z-i)^2)/2^3 +?
=納n=0→∞]((1+i)/2)^(n+1) (z-i)^n
※(1 )/(1-i)^2 =(1/(1-i))(1/(1-i))=(1+i)/((1-i)(1+i))((1+i)/(1-i)(1+i)) =(1+i)^2/2^2

?A) |z-i|>√2の場合
|z-i|/√2=|(z-i)/(1-i)|>1
すなわち、0<|(1-i)/(z-i)|<1となるから((1-i)/(z-i))^n の級数展開を考える。
1/(1-z)=1/(1-i-(z-i) )=-1/(z-i)?1/(1-(1-i)/(z-i))
=-1/(z-i) (1+((1-i)/(z-i))+((1-i)/(z-i))^2+((1-i)/(z-i))^3+?)
=-(1/(z-i)+(1-i)/(z-i)^2 +(1-i)^2/(z-i)^3 +?)
=-(1/(z-i)+2/(1+i)(z-i)^2 +2^2/?(1+i)^2 (z-i)?^3 +?)
=-((2^0 (z-i)^(-1))/(1+i)^0 +(2^1 (z-i)^(-2))/(1+i)^1 +(2^2 (z-i)^(-3))/(1+i)^2 +?)
=-(?(1+i)^0 (z-i)?^(-1)/2^0 +?(1+i)^(-1) (z-i)?^(-2)/2^(-1) +((1+i)^(-2) (z-i)^(-3))/2^(-2) +?)
=-納n=1→∞]((1+i)/2)^(1-n) (z-i)^(-n)
※(1-i)^2=(1-i)(1-i)=(1-i)(1+i)/(1+i)?(1-i)(1+i)/(1+i)=2^2/(1+i)^2
(1-i)^n=2^n/(1+i)^n

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/700

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