ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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950: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 09:56:20.09 ID:XknlDm4+

>>945 補足
>A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

えーと、最後の [17]を見ると下記だ
Notes
17  Halmos 1960, § 16. Exercise.
References
Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company.
https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_Set_Theory_(book)
Naive Set Theory (book)

うーんと、海賊版を探すと
Naive set theory.
Halmos, Paul R. (Paul Richard), 1916-2006.
Princeton, N.J., Van Nostrand, [1960]

があった (下記 文字化けと乱丁ご容赦)
Sec. 16  ZORN'S LEMMA p65
Exercise.
Zorn's lemma is equivalent to the axiom of choice.
[Hint
for the proof: given a set X, consider functions /such that dom/C
(P(X), ran/dX, and f(A)eA for all A in dom/; order these functions
by extension, use Zorn's lemma to find a maximal one among them, and
prove that if/ismaximal, then dom/= <P(X)
—
{0}.] Consider each
of the following statements and prove that they too are equivalent to
the axiom of choice.
(i)
Every partially ordered set has a maximal
chain (i.e., a chain that
is
not
a
proper subset of any other chain).
(ii)
Every chain in
a
partially ordered set
is
included in some maximal chain.
(iii) Every partially ordered set in which each chain has
a
least upper
bound has a maximal element.
(引用終り)

か
解答はないかな？・・・ ないね・・  ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/950

972: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 15:19:30.59 ID:XknlDm4+

>>969 >>971

じゃあ、聞くけど
下記の尾畑研 東北大
”定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である”けど
この証明は？ 認めるんだろうね？

で？ >>945より
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
に何を補えば良かったのかな？ｗ ；ｐ）
存在例化か？ｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
第11章 選択公理
第12章 順序集合 ツォルンの補題

P157 選択公理
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もし鵬Ωであれば,写像f:Ω→UΩ
ですべてのX∈Ωに対してf(x) ∈ Xとなるものが存在する．この写像
fを集合族Ωの選択関数という．

P184
定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である
証明 ツオルンの補題を用いて選択公理(AC2)を証明すればよいΩを空で
ない集合族でΦ∈Ωとする．部分集合D∈Ωと写像f:D→UΩの対(D,f）
で,すべてのA∈Dに対してｆ(A) ∈Aを満たすものの全体をZとする
まず､Zは空ではない．実際.A∈Ωを1つとれば,A≠0よりα∈Aが存在す
る 写像f: {A}→UΩをf(A) =αで定義すれば,明らかに({A},f)∈Z
である．次に,Z上の2項関係(D1,f1) <､(D2,f2）をD1⊂ D2であり，すべて
のA∈D1に対してf1(A) = f2(A)が成り立つものと定義すると, (z, <)は順
序集合になる．
(z, <)がツオルン集合になることを示そう
与えられた全順序部分集合y⊂Z
に対して,Ωの部分集合を
ε= U(D,f)∈y D （12.3）
とおいて;写像g：ε→UΩを次のように定義する．任意のx∈ε対し
て．ある(D,f)∈yが存在してx∈D となるので, g(x)=f(x)とおく

ここでx∈Dを満たす(D,f) ∈yの選び方は一意的ではないが.選び方によら
ず.f(x）は一定であるから写像gが定義できる このことを確認しておこう
(D1,f1),(D2,f1) ∈ yで x∈D1,x∈D2 とする
yが全順序部分集合だから、
Dl⊂D2またはD2⊂ D1が成り立つ.いずれにせよf1 (x) = f2(x)となり､
確かにg(x)の値はx∈D,(D,f)∈yの取り方によらない
明らかに, (ε, g)は
zの元であって,yの上限である．したがって, (z, <)はツォルン集合である
(z, <)にツォルンの補題を適用すれば.極大元(D.f)∈Zが存在する
もし,D≠Ωであれば Ao∈Ω＼ Dが存在する
Aoは空ではないのでαo∈Aoをとって．
h(A)=a0 A=A0, f(A) A∈D
とおくと,写像h:D∪{A0}→∪Ωが得られる
明らかに(DU{Ao},h) ∈Z
であり, (D,f)く(D U {Ao},h) ∈ Zとなる
これは(D,f)∈Zが極大元であることに矛盾する．
よって、D=Ωであり,fはΩの選択関数である■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/972

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