ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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190: 02/05(水)10:48 ID:wxM+XkyV(1/8) AAS
>>113
誰かさんはギブアップのようなので。

>問１　(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？
[定義]体F上の線型空間Vの元v1,・・・,vnが線型独立：∀f1,・・・,fn∈F.Σ[k=1,n]fkvk=0⇒f1=・・・=fn=0。線型独立でなければ線型従属。
[証明]
(2,-1,-1)+(-1,2,-1)+(-1,-1,2)=(0,0,0)なので線型従属。

>問２　R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？
[定義]線型空間Vの部分集合Bが線型独立性と全域性を満たすときBはVの基底。Vの次元=|B|。
[証明]
i∈I:={1,2,・・・,n} とする。
ei∈R^n をi番目の成分=1且つ他の成分=0である元とする。{ei|i∈I} は自明に線型独立。（線型独立性）
∀r∈R^n の i番目の成分を ri と書く。このとき r=Σ[i∈I]riei であるから {ei|i∈I} は R^n を張る。（全域性）
以上から {ei|i∈I} は R^n の基底であり、R^n の次元はn。

>問３　直接法からどんな手間が省けるか、どんな手間が省けないか　それぞれ具体的に示せる？
省ける手間：全域性の証明。省けない手間：線型独立性の証明。

191: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)10:50 ID:hl9U/ln8(1/5) AAS
>>182 補足

・Hilbert spaceの Hilbert dimension は、下記
"As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94]"
(which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).
・”The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).”
　”As a consequence of Parseval's identity,[95] 略 ”
・なお、>>146-147 "Proof that every vector space has a basis"では、有限和は陽には使われていない
　なので ”The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.
　Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).
　Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.
　As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.”
　とやっているので、⊆ による順序は Hilbert space でもそのまま使える
　あとは、直交基底と位相的な収束の話を色付けすれば、よさそうだ

(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Hilbert space

Hilbert dimension
As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94] For instance, since l^2(B) has an orthonormal basis indexed by B, its Hilbert dimension is the cardinality of B (which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).

The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).

As a consequence of Parseval's identity,[95] if {ek}k ∈ B is an orthonormal basis of H, then the map Φ : H → l^2(B) defined by Φ(x) = ⟨x, ek⟩k∈B is an isometric isomorphism of Hilbert spaces: it is a bijective linear mapping such that
⟨Φ(x),Φ(y)⟩l^2(B)=⟨x,y⟩H
for all x, y ∈ H. The cardinal number of B is the Hilbert dimension of H. Thus every Hilbert space is isometrically isomorphic to a sequence space l^2(B) for some set B.

192(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)11:10 ID:hl9U/ln8(2/5) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]

>>185-188
>あきらめたらそこで試合終了ですよ

ふっふ、ほっほ
こっちは、＜公開処刑続く＞
(あほ二人の”アナグマの姿焼き")のつもり

しかし、低レベルのバトルでは、観客も面白くないだろうから
いまはおサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
徹底的にあぶりだしているのですｗ；ｐ）

おサルにしたらあきらめたらそこで試合終了だわなｗ
がんばれよ、おサルｗｗ；ｐ）

さて >>185
(引用開始)
> ある空間の基底の存在定理、次元定理から
> 具体的な基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
　じゃ、RをQ上の線形空間としてみたときの基底を、具体的に構成してみてくれる？
　できるものならな
(引用終り)

・いま、”具体的な基底候補”があればという話だ
　それに対して、具体的に構成できないことを持ち出しても反論になってないぞｗ；ｐ）
・RをQ上の線形空間としてみたときの基底（R/Qで）
　すべての基底を具体的に明示することはできないが
　ある有限n個の無理数で基底 b1,b2,・・,bn を選んで、それらが Q上一次独立にはできそうだな
　そして、残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良い
　n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
　そして、残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良いｗ

193(1): 02/05(水)11:42 ID:7GP3k7Nu(1/2) AAS
>>192
＞いま、”具体的な基底候補”があればという話だ
　なんで、具体的な候補があるのに、選択公理使う奴がいるの？
　候補が実際、基底であることを示せばいいだけじゃん　馬鹿？

194: 02/05(水)11:43 ID:7GP3k7Nu(2/2) AAS
>>193
＞残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良い
　おまえ、考える能力がない馬鹿だろ？

195: 02/05(水)11:46 ID:FxXBQqZG(1/2) AAS
だいたい、全部が具体的に示せるかという問いに、
「一部なら示せる（どやぁ）　残りは魔法を使う」
とかいう奴は、人の話が聞けない●●山の●●公

196: 02/05(水)11:49 ID:FxXBQqZG(2/2) AAS
◆yH25M02vWFhPは、
「ボクちゃん、国立大学の入試に合格したから賢いもん」
とか思ってるようだけど

所詮高校卒業レベルのことしか出題されない大学入試試験に
答えられたくらいでドヤ顔すんな　イタイタしいな

特に数学に関しては、高校卒業レベルなんて実に大したことない

197(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)11:54 ID:hl9U/ln8(3/5) AAS
>>192 補足
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）

例えば
√2(=2^1/2), 2^(1/3), 2^(1/4),・・ 2^(1/m),・・ 2^(1/n),・・・
で、任意 2^(1/m) - 2^(1/n) （m≠n）が有理数でなければ良い

あるいは
√2(=2^1/2), 2^(1/2)^2, 2^(1/2)^3,・・ 2^(1/2)^m,・・ 2^(1/2)^n,・・・
で、任意 2^(1/2)^m - 2^(1/2)^n （m≠n）が有理数でなければ良い

mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど

198: 02/05(水)11:57 ID:wxM+XkyV(2/8) AAS
>>192
>いまはおサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
>徹底的にあぶりだしているのですｗ；ｐ）
好きな順番で整列できるだの、aαでfを定義するだのこそ誤解・無理解

199(1): 02/05(水)12:41 ID:wxM+XkyV(3/8) AAS
>>197
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？

200(1): 02/05(水)12:41 ID:KZr3dXIi(1/2) AAS
>>197
> n → 可算無限にできそうな気がする

君、乙？

201(1): 02/05(水)12:44 ID:KZr3dXIi(2/2) AAS
>>197
> mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・

任意の実数が、2のn乗根の有理数倍の有限和で表せる、と本気で思い込むとか
乙をはるかにしのぐ、ウルトラスーパー●違いがいたわ（驚）

202(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)13:33 ID:hl9U/ln8(4/5) AAS
＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]

>>199
(引用開始)
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
それ、下記の”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
の証明 by 都築暢夫広島大 (いま東北大)
が間違っていると？それ都築暢夫先生に教えてあげてね！ｗ；ｐ）

なお、おサルさん>>7-10は
存在を示す選択公理（選択関数）のポジティブな面を見ようとせず
ネガティブな面のみを強調するが、それ自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい

(参考)
（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
(引用終り)

203: 02/05(水)13:41 ID:wxM+XkyV(4/8) AAS
>>202
>したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
は任意の自然数nに関する命題なので数学的帰納法を適用できますけど？

>それ、下記の”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
>の証明 by 都築暢夫広島大 (いま東北大)
>が間違っていると？
間違ってるのは数学的帰納法で非自然数に関する命題を証明できるとかほざいてるあなたです。
高校数学からやり直した方が良いのでは？

204(1): 02/05(水)13:44 ID:wxM+XkyV(5/8) AAS
>>202
>なお、おサルさん>>7-10は
>存在を示す選択公理（選択関数）のポジティブな面を見ようとせず
>ネガティブな面のみを強調するが、それ自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい
好きな順番で整列できるだの、aαでfを定義するだのほざいてる人こそ自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい

205(3): 02/05(水)13:52 ID:wxM+XkyV(6/8) AAS
>>202
好きな順番で整列できるなら、実数全体の集合上の整列順序をあなたの好きなように作って示して下さい。
できるできる詐欺でないなら。

206(3): 02/05(水)17:17 ID:iZ38Xgef(1) AAS
>>200
>>201
＞> n → 可算無限にできそうな気がする
＞
＞君、乙？
>>1だよ

＞任意の実数が、2のn乗根の有理数倍の有限和で表せる
任意の有理整数nに対して2のn乗根の有理数倍の有限和は実代数的数で
実数の超越数はこの形の有限和で表せないから、その命題が偽であることはすぐ分かる

選択公理を仮定すれば、両方共に0ではない有理数 a≠0、b≠0 の
有理係数の γ＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n＋a)) a＞-1
に関する一次方程式 aγ＝b の解 γ＝b/a が存在するから、
その系としてγは有理数であることが示される
選択公理を仮定せずにオイラー・マクローリンの総和公式を使って
直接計算してγの具体的な値を求めることはまだ出来ていない
有理数γの分数の桁数が高々何桁かもまだ分からない
解析をしていれば特に違和感を持たないだろうけど、
γ＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n)) は病的な極限といえる

207: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)17:32 ID:hl9U/ln8(5/5) AAS
>>206
(引用開始)
選択公理を仮定すれば、両方共に0ではない有理数 a≠0、b≠0 の
有理係数の γ＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n＋a)) a＞-1
に関する一次方程式 aγ＝b の解 γ＝b/a が存在するから、
その系としてγは有理数であることが示される
(引用終り)

これは、おっちゃんか
お元気そうで何よりです。
今後ともよろしくね（＾＾

208(3): 02/05(水)19:37 ID:elkEtgQ/(1) AAS
>>206
乙は統合失調症
１は学習障害

209: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)21:48 ID:Md2R2j9H(5/5) AAS
メモ貼ります

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多項式環
体上の一変数多項式環 K[X]
冪級数
→詳細は「形式冪級数」を参照
非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。ここではコーシー積における和が有限和であることを保証するために、冪指数に用いるモノイド N に対していくつかの仮定を課す必要がある。あるいは環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。N として標準的な非負整数全体を選ぶならば問題は何もなく、形式冪級数環を N から環 R への写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
形式的冪級数
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

外部ﾘﾝｸ:yuyamatsumoto.com
Yuya MATSUMOTO Junior Associate Professor at Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Tokyo University of Science (2023/04 –).
外部ﾘﾝｸ[pdf]:yuyamatsumoto.com
環論講義ノート
松本雄也(matsumoto.yuya) 2023年03月05日

6 B.2形式冪級数環と収束冪級数環. . . . . 67

B.2 形式冪級数環と収束冪級数環
本小節では環は可換とする． Aを環とする．直積集合A[[X]] := AN に対し，多項式環と同様に加法と乗法を定める

B.2.2 収束冪級数環
Aに適切な構造が入っていれば，冪級数の収束や収束半径を考えることができる．ここではA=Cの場合のみ考える．Cの原点上の近傍での正則関数を考えると，そのTaylor展開が考えられ，収束半径は正の実数または無限大である．r>0に対し，Br :={ n≥0anzn |収束半径はr以上である} とする（条件を言い換えると，limsupn→∞(an)1/n ≤ 1 r である）．Br はC[[z]] の（真の）部分環であり，r < r′ のときBr ⊋ Br′である．また，r≥0に対し，Br+:= s>rBsとおくと，Br+もC[[z]]の（真の）部分環であり，r>0に対しBr ⊋Br+である．これらの環の元に有限個の負冪の項を加えた級数からなる環も考えられる（形式ローラン級数の場合と同様に，1元zによる局所化でもある）．

210(1): 02/05(水)22:13 ID:wxM+XkyV(7/8) AAS
またコピペが始まった

211: 02/05(水)22:19 ID:wxM+XkyV(8/8) AAS
>>205から逃げたということはやはりできるできる詐欺なんですね

212: 02/06(木)04:45 ID:aNn7qWpe(1/11) AAS
>>210
理解できてないから自分の言葉で書けずコピペでごまかす
劣等大学生あるある

213: 02/06(木)04:47 ID:aNn7qWpe(2/11) AAS
形式冪級数全体を、係数隊の線形空間を見たときの代数基底は具体的に構成できない
だ・か・ら、基底の存在は選択公理によらざるを得ない

基底が具体的に構成できるときに、その存在を選択公理で示す馬鹿はいない

これ数学界の豆な

214(3): 02/06(木)06:34 ID:YqLfsVRy(1/31) AAS
>>208
私は統合失調症ではないと何回いわせれば分かるのだ

任意に a＞-1 なる実数を取ると得られるオイラーの定数γに関する極限
γ＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n＋a))
について、γに収束する実数列 {a_n} の第n項 a_n を
a_n＝1＋…＋1/n−log(n＋a)
としたとき、aの取り方によって実数列 {a_n} は
γに収束する単調減少列かγに収束する単調増加列
のどちらか一方かつその一方に限りなる
こういう病的な現象が得られる元のγの定義式の極限
γ＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n))
は病的な極限である。γは正の実数だから、
この種の病的な極限値γが有理数か無理数を判定するときは、
可算選択公理を仮定して、任意の実数に対して全単射が存在して
一意に定まる正則連分数を使って
γが無理数であると仮定してγに関する無限展開された
正則連分数で背理法で考えて矛盾を導けばよい
そうすれば、可算選択公理によりγに関する正則連分数は
有限展開される連分数だから、γは有理数であると結論付けられる
いっていることは>>206と同じ

215: 02/06(木)06:46 ID:YqLfsVRy(2/31) AAS
>>208
5チャンばかりしていていないで少しは手を動かして考えてみ

5チャンばかりしていると、パソコンやスマートフォンの画面に
向き合うときに猫背になりがちで、その結果として姿勢が悪くなりがちである
また、5チャンばかりしていると眼が悪くなりがちである
だから、5チャンは健康によいとはいえない

216: 02/06(木)06:52 ID:YqLfsVRy(3/31) AAS
>>208
5チャンばかりしていていないで → 5チャンばかりしていないで

医学学部では基礎医学で解剖学や生理学、生化学などを学ぶから、
意外に医者の考え方にはそれなりの理屈がある

217: 02/06(木)06:54 ID:YqLfsVRy(4/31) AAS
あっ、医学学部 → 医学部

218(2): 02/06(木)06:57 ID:aNn7qWpe(3/11) AAS
>>214
＞可算選択公理を仮定して、
＞任意の実数に対して全単射が存在して一意に定まる正則連分数を使って
完全に統合失調症患者の妄想

219: 02/06(木)07:00 ID:YqLfsVRy(5/31) AAS
ま、医者は第一に体力であるとはいえる
体力がないと医者は務まらない

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