[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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177: 02/04(火)19:30 ID:PFLhGe5c(10/10) AAS
🌲違いが●った時に言う言葉
院試 カンニング タネ本 ハナタカ
ま、どうせ院試で落ちて
社奴に成り下がった
屈辱が忘れられず
「実社会ではカンニングOK！
タネ本もろコピべでも
ハナタカしまくりだぜ」
とか喚いて、チラ読みで
必要な前提全部削りまくって
正方行列は正則行列で正規行列とか
ウソ800吠えまくるwww
178: 02/04(火)20:56 ID:04gi+31b(1) AAS
わからん
179: 02/04(火)21:04 ID:Ic3SxmhU(1) AAS
資源工学冶金学の鍛冶屋さん
日夜トンチンカントンチンカン
180(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)00:12 ID:Md2R2j9H(1/5) AAS
>>160
>任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
これ、選択公理を使うだろうと思って調べていた
下記 山上滋先生 名大 関数解析入門 『命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する。（全然一意的ではないが。）
Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ』
ですね （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.nagoya-u.ac.jp
授業記録 山上滋 名大
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.nagoya-u.ac.jp
解析学 2017
テキストである 関数解析入門２０１７ の三分の二程を、 進度予定表に沿って行う
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.nagoya-u.ac.jp
関数解析入門 山上滋 2017
目次
略す
作用素解析とのつながりを意識した関数解析入門である。予備知識としては、フーリエ解析とルベーグ積分の初歩を仮定する。例えば、次の講義ノート程度のことを知っていれば十分であろう
（URL二つ略す）
予備知識以上に大事なのが利用のしかたである。これは、知識とか技能を習得するためのものではない。数学を実践するための題材提供が主たる目的なので、各自の問題意識に応じて、緩急自在にいくつかある課題に取り組んで欲しい。他は、それに至る準備に過ぎない
1．道の糧など
このように、関数の間に「距離」を設定すると、ベクトル空間における内積から導入されるそれと形式上よく似たものであることがわかってくる。このことをより組織的に行うと、微積分の線型代数化、あるいは無限次元線型代数としての解析学、といった側面が見えてくる。これが、関数解析学の基本的なアイデアである。さて、ユークリッド空間の位相については知っていることであろうが、そもそもユークリッド空間とは何か説明できるだろうか
これは、いうなれば、高校以来慣れ親しんできた幾何ベクトルとその内積を逆算的に用いて定義としたもので、卑怯といえば卑怯な方法である。しかし、こう割り切ることで、ユークリッド空間およびその幾何学が実数の性質に帰着するものであることが容易に把握できるようになる。悪くない定義だと思うのだがどうだろうか。なお、こういった形式的な定義が、物理現象（主に光）に由来する空間認識と一致すべき先験的な理由は何もないのだが、非常に良く幾何学的直感となじんでいるのも事実
Ｐ26
略 をみたすとき、正規直交基底と呼ぶ
すぐ後でみるように、この逆も成り立つ
命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する（全然一意的ではないが）
Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ
正規直交基底の濃度を考えているヒルベルト空間Ｈの次元といい、dim Ｈで表す
正規直交基底の濃度は正規直交基底のとり方によらないのであるが、その確認には多少の議論を要する
以下ではとくに断らない限り可算次元のヒルベルト空間を扱うものとする
つづく
181: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)00:13 ID:Md2R2j9H(2/5) AAS
つづき
付録E Kuratowski-Zornの定理
略す
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
20 河東泰之， ヒルベルト空間と作用素環，「数理科学」 Vol.57-9, pp.29-35, サイエンス社，2019．
2. 有限次元空間から無限次元へ
略す
(引用終り)
以上
182(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)07:51 ID:Md2R2j9H(3/5) AAS
>>180
>>任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
>これ、選択公理を使うだろうと思って調べていた
>下記 山上滋先生 名大 関数解析入門 『命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する。（全然一意的ではないが。）
>Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ』
>ですね （＾＾
＜補足＞
1）Zorn補題は、選択公理と同値
2）Zorn補題（選択公理）で、通常のベクトル空間(基底の有限和)から
基底の無限個のベクトルの線形結合を使う ヒルベルト空間まで
その空間の基底の存在と、次元（ベクトル空間の場合 基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
3）『全然一意的ではないが』 by 山上滋先生 名大
存在のみのZorn補題（選択公理）で、言える
4）その存在定理の典型的な、使い方が>>110だね
同様に、例えば、ヒルベルト空間で ある特別な基底候補を使いたいとき
まず、上記 命題4.5 に照らしてみれば良い
そうすれば、その基底候補が、実際に基底として使えることが分る
フーリエ級数が、典型例>>160
"Zorn補題（選択公理）は、存在しか言えないから 具体的なこと言えない"と思った あなた それ勘違いですよ
存在の公理（定理）だから、適用範囲が広い
そして、ある空間の 基底の存在定理、次元定理から 具体的な 基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
183: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)07:52 ID:Md2R2j9H(4/5) AAS
>>182 タイポ訂正
その空間の基底の存在と、次元（ベクトル空間の場合 基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
↓
その空間の基底の存在と、次元（ヒルベルト空間の場合 基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
184: 02/05(水)08:18 ID:5j19JkQh(1/2) AAS
>>182
> Zorn補題（選択公理）で、
> 線形空間の基底の存在と、
> 次元（基底の集合の濃度を意味する）が決められる
> 基底の存在定理の典型的な、使い方が>>110だね
>>111な 三ケタの数字を覚えられんのか？ この昭和耄碌爺
で、>>112は解けたのか？
線形空間が有限次元なら、選択公理なんか使わんでも、
次元定理なんか直接証明できるぞ●●
大学１年の線型代数で習わんかったか？
ああ、論理がわからんので全く理解できんかったか？
計算方法覚えることしかできん●●公の工学部卒社奴
185(2): 02/05(水)08:21 ID:5j19JkQh(2/2) AAS
>>182
> ある空間の 基底の存在定理、次元定理から
> 具体的な 基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
じゃ、RをQ上の線形空間としてみたときの基底を、具体的に構成してみてくれる？
できるものならな
186(2): 02/05(水)08:48 ID:DBPzopUM(1/2) AAS
>>185
そういう理屈が通じない相手であることがわからないということが
わからない
187(1): 02/05(水)08:55 ID:xZiVkAA/(1) AAS
>>186
> そういう理屈が通じない相手であることが
わかってる
> わからないということがわからない
あきらめたらそこで試合終了ですよ
外部ﾘﾝｸ:dic.pixiv.net
188(1): 02/05(水)09:03 ID:E9rrHVSa(1) AAS
●●公がここに書くのを諦めないなら
我々も彼に対する「教育」を諦めない
どこぞの大学の●●名誉教授様とは違う
189: 02/05(水)10:18 ID:DBPzopUM(2/2) AAS
勝手に書かせておけと思えない理由が
わからない
190: 02/05(水)10:48 ID:wxM+XkyV(1/8) AAS
>>113
誰かさんはギブアップのようなので。
>問１ (2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？
[定義]体F上の線型空間Vの元v1,・・・,vnが線型独立：∀f1,・・・,fn∈F.Σ[k=1,n]fkvk=0⇒f1=・・・=fn=0。線型独立でなければ線型従属。
[証明]
(2,-1,-1)+(-1,2,-1)+(-1,-1,2)=(0,0,0)なので線型従属。
>問２ R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？
[定義]線型空間Vの部分集合Bが線型独立性と全域性を満たすときBはVの基底。Vの次元=|B|。
[証明]
i∈I:={1,2,・・・,n} とする。
ei∈R^n をi番目の成分=1且つ他の成分=0である元とする。{ei|i∈I} は自明に線型独立。（線型独立性）
∀r∈R^n の i番目の成分を ri と書く。このとき r=Σ[i∈I]riei であるから {ei|i∈I} は R^n を張る。（全域性）
以上から {ei|i∈I} は R^n の基底であり、R^n の次元はn。
>問３ 直接法からどんな手間が省けるか、どんな手間が省けないか それぞれ具体的に示せる？
省ける手間：全域性の証明。省けない手間：線型独立性の証明。
191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)10:50 ID:hl9U/ln8(1/5) AAS
>>182 補足
・Hilbert spaceの Hilbert dimension は、下記
"As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94]"
(which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).
・”The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).”
”As a consequence of Parseval's identity,[95] 略 ”
・なお、>>146-147 "Proof that every vector space has a basis"では、有限和は 陽には使われていない
なので ”The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.
Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).
Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.
As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.”
とやっているので、⊆ による順序は Hilbert space でも そのまま使える
あとは、直交基底と 位相的な収束の話を 色付けすれば、よさそうだ
(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Hilbert space
Hilbert dimension
As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94] For instance, since l^2(B) has an orthonormal basis indexed by B, its Hilbert dimension is the cardinality of B (which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).
The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).
As a consequence of Parseval's identity,[95] if {ek}k ∈ B is an orthonormal basis of H, then the map Φ : H → l^2(B) defined by Φ(x) = ⟨x, ek⟩k∈B is an isometric isomorphism of Hilbert spaces: it is a bijective linear mapping such that
⟨Φ(x),Φ(y)⟩l^2(B)=⟨x,y⟩H
for all x, y ∈ H. The cardinal number of B is the Hilbert dimension of H. Thus every Hilbert space is isometrically isomorphic to a sequence space l^2(B) for some set B.
192(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)11:10 ID:hl9U/ln8(2/5) AAS
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]
>>185-188
>あきらめたらそこで試合終了ですよ
ふっふ、ほっほ
こっちは、＜公開処刑 続く＞
(あほ二人の”アナグマの姿焼き")のつもり
しかし、低レベルのバトルでは、観客も面白くないだろうから
いまは おサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
徹底的に あぶりだしているのですｗ ；ｐ）
おサルにしたら あきらめたらそこで試合終了 だわなｗ
がんばれよ、おサルｗｗ ；ｐ）
さて >>185
(引用開始)
> ある空間の 基底の存在定理、次元定理から
> 具体的な 基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
じゃ、RをQ上の線形空間としてみたときの基底を、具体的に構成してみてくれる？
できるものならな
(引用終り)
・いま、”具体的な 基底候補”があれば という話だ
それに対して、具体的に構成できないことを持ち出しても 反論になってないぞｗ ；ｐ）
・RをQ上の線形空間としてみたときの基底 （R/Qで）
すべての基底を 具体的に明示することはできないが
ある有限n個の 無理数で 基底 b1,b2,・・,bn を選んで、それらが Q上 一次独立にはできそうだな
そして、残りの部分を 存在定理に丸投げすれば、良い
n → 可算無限 にできそうな気がする （すぐには 成否の判断ができないが）
そして、残りの部分を 存在定理に丸投げすれば、良いｗ
193(1): 02/05(水)11:42 ID:7GP3k7Nu(1/2) AAS
>>192
＞いま、”具体的な 基底候補”があれば という話だ
なんで、具体的な候補があるのに、選択公理使う奴がいるの？
候補が実際、基底であることを示せばいいだけじゃん 馬鹿？
194: 02/05(水)11:43 ID:7GP3k7Nu(2/2) AAS
>>193
＞残りの部分を 存在定理に丸投げすれば、良い
おまえ、考える能力がない馬鹿だろ？
195: 02/05(水)11:46 ID:FxXBQqZG(1/2) AAS
だいたい、全部が具体的に示せるかという問いに、
「一部なら示せる（どやぁ） 残りは魔法を使う」
とかいう奴は、人の話が聞けない●●山の●●公
196: 02/05(水)11:49 ID:FxXBQqZG(2/2) AAS
◆yH25M02vWFhPは、
「ボクちゃん、国立大学の入試に合格したから賢いもん」
とか思ってるようだけど
所詮高校卒業レベルのことしか出題されない大学入試試験に
答えられたくらいでドヤ顔すんな イタイタしいな
特に数学に関しては、高校卒業レベルなんて実に大したことない
197(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)11:54 ID:hl9U/ln8(3/5) AAS
>>192 補足
>n → 可算無限 にできそうな気がする （すぐには 成否の判断ができないが）
例えば
√2(=2^1/2), 2^(1/3), 2^(1/4),・・ 2^(1/m),・・ 2^(1/n),・・・
で、任意 2^(1/m) - 2^(1/n) （m≠n）が 有理数でなければ良い
あるいは
√2(=2^1/2), 2^(1/2)^2, 2^(1/2)^3,・・ 2^(1/2)^m,・・ 2^(1/2)^n,・・・
で、任意 2^(1/2)^m - 2^(1/2)^n （m≠n）が 有理数でなければ良い
mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
198: 02/05(水)11:57 ID:wxM+XkyV(2/8) AAS
>>192
>いまは おサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
>徹底的に あぶりだしているのですｗ ；ｐ）
好きな順番で整列できるだの、aαでfを定義するだのこそ誤解・無理解
199(1): 02/05(水)12:41 ID:wxM+XkyV(3/8) AAS
>>197
>n → 可算無限 にできそうな気がする （すぐには 成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？
200(1): 02/05(水)12:41 ID:KZr3dXIi(1/2) AAS
>>197
> n → 可算無限 にできそうな気がする
君、乙？
201(1): 02/05(水)12:44 ID:KZr3dXIi(2/2) AAS
>>197
> mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・
任意の実数が、2のn乗根の有理数倍の有限和で表せる、と本気で思い込むとか
乙をはるかにしのぐ、ウルトラスーパー●違いがいたわ（驚）
202(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/05(水)13:33 ID:hl9U/ln8(4/5) AAS
＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]
>>199
(引用開始)
>n → 可算無限 にできそうな気がする （すぐには 成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？
(引用終り)
ふっふ、ほっほ
それ、下記の”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
の証明 by 都築暢夫 広島大 (いま東北大)
が間違っていると？ それ 都築暢夫先生に教えてあげてね！ｗ ；ｐ）
なお、おサルさん>>7-10は
存在を示す 選択公理（選択関数）のポジティブな面を見ようとせず
ネガティブな面のみを強調するが、それ 自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい
(参考)
（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫 広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
(引用終り)
203: 02/05(水)13:41 ID:wxM+XkyV(4/8) AAS
>>202
>したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
は任意の自然数nに関する命題なので数学的帰納法を適用できますけど？
>それ、下記の”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
>の証明 by 都築暢夫 広島大 (いま東北大)
>が間違っていると？
間違ってるのは数学的帰納法で非自然数に関する命題を証明できるとかほざいてるあなたです。
高校数学からやり直した方が良いのでは？
204(1): 02/05(水)13:44 ID:wxM+XkyV(5/8) AAS
>>202
>なお、おサルさん>>7-10は
>存在を示す 選択公理（選択関数）のポジティブな面を見ようとせず
>ネガティブな面のみを強調するが、それ 自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい
好きな順番で整列できるだの、aαでfを定義するだのほざいてる人こそ自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい
205(3): 02/05(水)13:52 ID:wxM+XkyV(6/8) AAS
>>202
好きな順番で整列できるなら、実数全体の集合上の整列順序をあなたの好きなように作って示して下さい。
できるできる詐欺でないなら。
206(3): 02/05(水)17:17 ID:iZ38Xgef(1) AAS
>>200
>>201
＞> n → 可算無限 にできそうな気がする
＞
＞君、乙？
>>1だよ
＞任意の実数が、2のn乗根の有理数倍の有限和で表せる
任意の有理整数nに対して2のn乗根の有理数倍の有限和は実代数的数で
実数の超越数はこの形の有限和で表せないから、その命題が偽であることはすぐ分かる
選択公理を仮定すれば、両方共に0ではない有理数 a≠0、b≠0 の
有理係数の γ＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n＋a)) a＞-1
に関する一次方程式 aγ＝b の解 γ＝b/a が存在するから、
その系としてγは有理数であることが示される
選択公理を仮定せずにオイラー・マクローリンの総和公式を使って
直接計算してγの具体的な値を求めることはまだ出来ていない
有理数γの分数の桁数が高々何桁かもまだ分からない
解析をしていれば特に違和感を持たないだろうけど、
γ＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n)) は病的な極限といえる
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