[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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972(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/15(土)15:19 ID:XknlDm4+(7/10) AAS
>>969 >>971

じゃあ、聞くけど
下記の尾畑研 東北大
”定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である”けど
この証明は？ 認めるんだろうね？

で？ >>945より
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
に何を補えば良かったのかな？ｗ ；ｐ）
存在例化か？ｗｗ ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.math.is.tohoku.ac.jp
尾畑研 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
第11章 選択公理
第12章 順序集合 ツォルンの補題

P157 選択公理
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もし鵬Ωであれば,写像f:Ω→UΩ
ですべてのX∈Ωに対してf(x) ∈ Xとなるものが存在する．この写像
fを集合族Ωの選択関数という．

P184
定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である
証明 ツオルンの補題を用いて選択公理(AC2)を証明すればよいΩを空で
ない集合族でΦ∈Ωとする．部分集合D∈Ωと写像f:D→UΩの対(D,f）
で,すべてのA∈Dに対してｆ(A) ∈Aを満たすものの全体をZとする
まず､Zは空ではない．実際.A∈Ωを1つとれば,A≠0よりα∈Aが存在す
る 写像f: {A}→UΩをf(A) =αで定義すれば,明らかに({A},f)∈Z
である．次に,Z上の2項関係(D1,f1) <､(D2,f2）をD1⊂ D2であり，すべて
のA∈D1に対してf1(A) = f2(A)が成り立つものと定義すると, (z, <)は順
序集合になる．
(z, <)がツオルン集合になることを示そう
与えられた全順序部分集合y⊂Z
に対して,Ωの部分集合を
ε= U(D,f)∈y D （12.3）
とおいて;写像g：ε→UΩを次のように定義する．任意のx∈ε対し
て．ある(D,f)∈yが存在してx∈D となるので, g(x)=f(x)とおく

ここでx∈Dを満たす(D,f) ∈yの選び方は一意的ではないが.選び方によら
ず.f(x）は一定であるから写像gが定義できる このことを確認しておこう
(D1,f1),(D2,f1) ∈ yで x∈D1,x∈D2 とする
yが全順序部分集合だから、
Dl⊂D2またはD2⊂ D1が成り立つ.いずれにせよf1 (x) = f2(x)となり､
確かにg(x)の値はx∈D,(D,f)∈yの取り方によらない
明らかに, (ε, g)は
zの元であって,yの上限である．したがって, (z, <)はツォルン集合である
(z, <)にツォルンの補題を適用すれば.極大元(D.f)∈Zが存在する
もし,D≠Ωであれば Ao∈Ω＼ Dが存在する
Aoは空ではないのでαo∈Aoをとって．
h(A)=a0 A=A0, f(A) A∈D
とおくと,写像h:D∪{A0}→∪Ωが得られる
明らかに(DU{Ao},h) ∈Z
であり, (D,f)く(D U {Ao},h) ∈ Zとなる
これは(D,f)∈Zが極大元であることに矛盾する．
よって、D=Ωであり,fはΩの選択関数である■
973: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/15(土)17:37 ID:XknlDm4+(8/10) AAS
>>972 タイポ訂正と補足

＜タイポ訂正＞（他にも文字化けなどあると思うが 原文PDFご参照）
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もし鵬Ωであれば,写像f:Ω→UΩ
　　↓
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もしΦ not∈ Ωであれば,写像f:Ω→UΩ

＜補足＞（3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理)のステートメントを押えておこう；ｐ）
外部ﾘﾝｸ[html]:alg-d.com
順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

外部ﾘﾝｸ:alg-d.com
alg-d 壱大整域
選択公理と同値な命題とその証明
外部ﾘﾝｸ[html]:alg-d.com
選択公理について
2019年09月17日更新
定義
Xを集合とするとき，次の条件を満たす写像 f: X＼{∅} → ∪x∈X x を集合 X の選択関数という．
任意の非空集合 x∈X に対して f(x)∈x
次の命題を選択公理と呼ぶ．

選択公理 任意の集合は選択関数を持つ．
定義
全射 g: Λ→A をΛを添え字集合とする集合族という．Xλ := g(λ) と置いて，この集合族を{X_λ}_{λ∈Λ}で表すことが多い．
また，次の条件を満たす写像f: Λ→∪_{λ∈Λ}X_λを集合族{X_λ}_{λ∈Λ}の選択関数という．
任意のλ∈Λに対して f(λ)∈Xλ
集合族{X_λ}_{λ∈Λ}の選択関数全体からなる集合をΠ_{λ∈Λ}X_λで表す．f∈Π_{λ∈Λ}X_λに対して xλ := f(λ) と置くとき，f = ( xλ )λ∈Λ 等と表すことがある．
974: 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)17:40 ID:36YscTpw(22/27) AAS
自分の言葉では何一つ書けないサル、こと、神戸のセタは哀れである
975(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/15(土)18:10 ID:XknlDm4+(9/10) AAS
所詮、数学科といえども
学部や修士レベルでは
どうせ 講義やゼミのタネ本ありの 他人の受け売りにすぎない！ｗ ；ｐ）

それを、”自分の言葉”だと錯覚する
オチコボレさんのおサル>>7-10
あわれｗｗｗ ；ｐ）
976: 02/15(土)18:31 ID:36YscTpw(23/27) AAS
>>975
自分がわからんからって
みんなわかってないと思うのが
神戸のセタとか言う三歳児

池沼か
977: 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)18:40 ID:36YscTpw(24/27) AAS
>>975
タネ本を丸写しするのは馬鹿のすること
しかし馬鹿はそれが分からない
だから馬鹿から抜け出せない
978: 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)18:42 ID:36YscTpw(25/27) AAS
自分の言葉がないのは
ヒトの知性を持たぬサル
979(1): 02/15(土)19:50 ID:XknlDm4+(10/10) AAS
院試の口頭試問ならば、話は別だが
ここ 5ｃｈのカキコで 自分の言葉とかｗｗｗｗｗ
自分何さまだ？ 数学科修士卒だ？ 卒業証書さらせよｗｗｗｗ
幼稚園児か小学生みたいなカキコしかできないやつがよ
数学科修士卒だ？ わらかすな！！ｗｗｗｗ
980: 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)20:08 ID:36YscTpw(26/27) AAS
>>979
大学１年の数学で落第した奴が
院試の口頭試問とかぬかすなよ

神戸のセタは大学数学の負け犬
981(1): 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)20:51 ID:36YscTpw(27/27) AAS
神戸のセタは数学系大学院の
口頭試問を受けたことがないみたいなので
ここで過去に口頭試問を受けた人から聞いた
楽勝問題を出してあげる

Q　行列同士の同値関係の例を２つ示し、それぞれの同値類での不変量を示せ

これ大学１年の線形代数がわかっていれば、即座に答えられるけど
神戸のセタは答えられるかな？
982: 02/15(土)22:51 ID:tNB6oeTf(13/13) AAS
>>965 自己レス
>、選択関数を元として持つ集合を持ち出した時点で
勘違いしていたが、Aの定義からはAに選択関数が属しているとは言えないな。
証明が正しいことが理解できた。
983: 02/16(日)09:52 ID:XssMUT1p(1/17) AAS
>>981
>Q　行列同士の同値関係の例を２つ示し、それぞれの同値類での不変量を示せ
　いい問題　このくらい　即答してほしいね
984: 02/16(日)15:30 ID:189U+xhH(1) AAS
一所懸命検索中
985: 02/16(日)16:03 ID:XssMUT1p(2/17) AA×
986: 02/16(日)21:02 ID:XssMUT1p(3/17) AAS
一般次数の n次正方行列についてのケイリー・ハミルトンの定理の証明には、いくつかの方法がある。
987: 02/16(日)21:04 ID:XssMUT1p(4/17) AAS
A の固有多項式を pA(t)=det(tIn−A), 固有値を λ1, …, λn とする。
pA(t)=(t−λ1)⋯(t−λn)
988: 02/16(日)21:10 ID:XssMUT1p(5/17) AAS
A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ1, …, λn が並ぶ：
pA(A)=(A−λ1I)⋯(A−λnI)=(PBP^−1−λ1I)⋯(PBP^−1−λnI)=P{(B−λ1I)⋯(B−λnI)}P^−1⋯(1)
ここで
pB(B)=(B−λ1I)⋯(B−λnI)
を計算する。
989: 02/16(日)21:13 ID:XssMUT1p(6/17) AAS
Ck:=B-λkI (k=1,2,…,n)とおく。
Ck は上三角行列で、(k, k) 成分は 0 である。

C1C2を計算すると、第2列までは成分が全て 0 になる。
同様にして、帰納的に、Ckを掛けると、第k列までの成分は全て 0 になる。
これを n番目まで繰り返すことにより
C1…Cn=O
990: 02/16(日)21:14 ID:XssMUT1p(7/17) AAS
故に (1) は
P(C1⋯Cn)P^−1=O
（証明終）
991: 02/16(日)21:16 ID:XssMUT1p(8/17) AAS
n次正方行列の固有多項式において、
i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i)次基本対称式に等しい。
特に、定数項（0次の係数）c0 は固有値の総乗ゆえ
A の行列式 detA に等しい。
992: 02/16(日)21:20 ID:XssMUT1p(9/17) AAS
ニュートンの公式（英語版）を用いると、基本対称式は冪和対称式で書き表せるから、
上記の ci は固有値の冪和対称式
sk=?(i=1〜n)λi^k
たちで表されると分かるが、
sk=Σ(i=1〜n)λi^k=tr(A^k)
である。
したがって、ci は Ak のトレースたちで書き表せる。
特に c(n-1)=tr(A) である。
993: 02/16(日)21:21 ID:XssMUT1p(10/17) AAS
ケイリー・ハミルトンの定理により、
一般の n次正則行列 A（つまり A の行列式は 0 でない）に対し、
その逆行列 A−1 は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。
994: 02/16(日)21:22 ID:XssMUT1p(11/17) AAS
ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ
（最も とは限らないが）関係を記述するものであるから、
それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、
式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を
直接計算することなく値を評価することができるようになる。
995: 02/16(日)21:24 ID:XssMUT1p(12/17) AAS
ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、
ある種の剰余の定理：f(A)=r(A)が成り立つ。
ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに
n 次以下の行列多項式として書き表される。
996: 02/16(日)21:36 ID:XssMUT1p(13/17) AAS
f(A)=e^At
(A
=(0 1)
(−1 0))
を考える。
997: 02/16(日)21:37 ID:XssMUT1p(14/17) AAS
A の固有多項式は p(x) = x2 + 1, 固有値は λ = ±i である。
998: 02/16(日)21:38 ID:XssMUT1p(15/17) AAS
固有値における値に関する連立方程式
e^ it = c0 + ic1
e^−it = c0 − ic1
を解いて、
c0 = (e^it + e^−it)/2 = cos(t)
c1 = (e^it − e^−it)/2i = sin(t)
を得る。
999: 02/16(日)21:40 ID:XssMUT1p(16/17) AAS
この場合の
e^At=(cos⁡ t)I2+(sin⁡ t)A
=
(cos⁡t sint)
(−sin⁡t cost)
は回転行列である。
1000: 02/16(日)21:41 ID:XssMUT1p(17/17) AAS
完
1001(1): 1001 ID:Thread(1/2) AAS
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