雑談はここに書け！【６７】 (459ﾚｽ)
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402(4): 09/28(日)17:49 ID:fvkQNaSZ(2/13) AAS
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aを任意に取る
有理数列 {b_n} ∀b_n＜M(π)＝4 は無理数πに収束し
各項が正なる単調減少列であるから、π＜a＜M(π)＝4 なる
有理数aに対して或る正の整数 N(a) が存在して、
有理数列 {b_n} ∀b_n＜N(a) の第n項について n≧N(a) のとき π＜b_n＜a である
正の整数nを任意に取れば、nに対して定義される
実数列 {b_n} の第n項 b_n 、第n+1項 b_{n+1}は両方共に有理数だから、
nに対して b_{n+1} の b_n 乗列 c(n) が定義されて c(n)＝(b_{n+1})^{b_n} とおくことが可能である
有理数列 {b_n} ∀b_n＜M(π)＝4 はπに収束し各項が正なる単調減少列だから、
実数列 {b_{n+1}^{b_n}} は π^π に収束する単調増加な実代数的数の列である
有理数aは π＜a＜M(π)＝4 を満たすから、m≧N(a) なる正の整数mを任意に取れば、
有理数列 {b_n} ∀b_n＜M(π) の第m項 b_m、第(m+1)項 b_{m+1} について
π＜b_{m+1}＜b_m＜a であって、π＞1 から確かに (b_{m+1})^{b_m}＞1 である
よって、m≧N(a) のとき、1/a＜1/(b_{m+1})＜1/((b_{m+1})^{b_m})＜1 であって、(b_{m+1})^{b_m}＜a である
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aは任意であるから、a→π とすれば、(b_{m+1})^{b_m}≦π である
403(2): 09/28(日)17:50 ID:fvkQNaSZ(3/13) AAS
(>>401-402 の続き)
m→+∞ とすれば b_{m+1}→π かつ m→+∞ とすれば b_m→π であるから、
m≧N(a) なる正の整数mについて m→∞ とすれば (b_{m+1})^{b_m}→π^π であって π^π≦π を得る
しかし、π^π≦π なることは π^π＞π なることに反し矛盾する
この矛盾は、π^π を代数的数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、π^π は超越数である
407: 09/28(日)18:33 ID:zxZXlCIa(1/10) AAS
>>401-406
ビューティフルマインドの逆、アグリーマインド
読むだけで脳みそ腐った気分にさせる文書をばら撒くのは犯罪行為
409(1): 09/28(日)18:39 ID:fvkQNaSZ(7/13) AAS
>>402の下から2行目：
よって、m≧N(a) のとき、1/a＜1/(b_{m+1})＜1/((b_{m+1})^{b_m})＜1 であって、(b_{m+1})^{b_m}＜a である
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aは任意であるから、a→π とすれば、(b_{m+1})^{b_m}≦π である
→ よって、m≧N(a) のとき、1/a＜1/(b_{m+1})＜1/((b_{m+1})^{1/(b_m}))＜1 であって、
(1/a)^{b_m}＜(1/b_{m+1})^{b_m}＜1 から (b_{m+1})^{b_m}＜a^{b_m} である
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aは任意であるから、
a→π とすれば、(b_{m+1})^{b_m}≦π^{b_m} であって、b_{m+1}≦π である
しかし、b_{m+1}≦π なることは π＜b_{m+1} なることに反し、矛盾する
この矛盾は、π^π を代数的数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、π^π は超越数である
410: 09/28(日)18:42 ID:fvkQNaSZ(8/13) AAS
>>409の訂正は
>>402の下から2行目以降>>403の訂正も含む
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