ツイッタ「ε-δ論法が難しいわけないだろ」

ツイッタ「ε-δ論法が難しいわけないだろ」 (223ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除ﾚｽ栞

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

30(25): 2024/12/31(火)16:27 ID:g6P3Bm62(1/38) AAS
たとえば、以下の証明は間違っている。

命題
lim_{n→∞} an = a, lim_{n→∞} bn = bならばlim_{n→∞}(an + bn) = a + b

証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば|　bn - b| < ε。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば

|(an + bn) - (a + b)|
≤ |an - a| + |bn - b|
< 2ε。□

こういう証明を書いてくる学生は多い。

46(6): 2024/12/31(火)17:15 ID:g6P3Bm62(8/38) AAS
>>30の証明が正しいという人は、

fは零点をもつので、f(x) = 0となるxがある。
gは零点をもつので、g(x) = 0となるxがある。
f(x) + g(x) = 0なので、f + gも零点を持つ

とか言ってるようなもの。

59(6): 2024/12/31(火)17:33 ID:g6P3Bm62(13/38) AAS
わからないようなので、>>30と論理的に全く同じ「証明」を書こう
何がおかしいかは明白なはず

証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のα > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < α。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のβ > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば|　bn - b| < β。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば

|(an + bn) - (a + b)|
≤ |an - a| + |bn - b|
< 2ε。□

61(13): 2024/12/31(火)17:37 ID:xeRxaJy4(14/37) AAS
>>30
liman=a
であるよと
だから
∀ε∃N∀n>N |an-a|<ε
よと
limbn=b
であるよと
だから
∀ε∃N'∀n>N' |an-a|<ε
よと
(∀ε∃N∀n>N |an-a|<ε)∧(∀ε∃N'∀n>N' |an-a|<ε)
は
∀ε∃N,N'∀n>N,N' |an-a|<ε∧ |bn-b|<ε
を導きますよと
N''=max(N,N')
とすると
∀ε∃N''∀n>N'' |(an+bn)-(a+b)|<2ε
ですよと

62(4): 2024/12/31(火)17:42 ID:5Bo3IDus(3/4) AAS
>>26
>0.9999…=1
0.9999…<1 と仮定。
アルキメデスの性質より、1>0.999…9>0.999… を満たす 0.999…9 が存在する。
0.000…999…<0 なる矛盾が導かれるから仮定は偽。よって0.999…=1。

80(3): 2024/12/31(火)17:58 ID:xeRxaJy4(22/37) AAS
>>76
ところがね∀εが最外部にあるので>>61の通りグローバルなんですよ

145(3): 01/01(水)21:19 ID:5Cgme/7b(5/16) AAS
件の人は
∀xP(x)
と
∀yP(y)
の同値性が自明と感じないのと
(∀xP(x))∧(∀xQ(x))=∀x(P(x)∧Q(x))
を認めたくないのと
これと
(∃xP(x))∧(∃xQ(x))=∃x(P(x)∧Q(x))
というあり得ない等式を同一視して非難するのと
スコープについて完全に誤解しているのと
N''=max(N,N')
を認めたくないというような
ある言名がどのレベルで適用されなくてはならないかを
厳密に考えることしか許さないのとで
まるで普通の数学ができないんだろうなと思うほかないな

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ

ぬこの手ぬこTOP 0.026s